Question

В треугольнике ABC высоты AK и BM пересекаются в точке O. Найдите угол AOB, если углы A и B треугольника равны соответственно 72 градуса и 60 градуса.

Answer 1

Рассмотрим ΔABM  <ABM = 180-90-72=18 град

Рассмотрим ΔABK  <BAK=180-90-60=30 град


Рассмотрим ΔABO  <AOB = 180-18-30=132 град

Answer 2

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами высот треугольника.

Угол AOB является внешним углом треугольника АКО, поэтому он равен сумме внутренних углов треугольника АКО:

AOB = AOK + BOK

Поскольку AK и BM являются высотами треугольника ABC, мы можем заметить, что треугольники АКО и ВКО подобны треугольнику ABC. То же самое можно сказать и о треугольниках ВКО и АМО. Это происходит потому, что углы между высотами и основанием треугольника являются прямыми углами, поэтому треугольники АКО и ВКО, ВКО и АМО имеют общие углы.

Следовательно, отношение длин отрезков внутри треугольников АКО и ВКО, ВКО и АМО равно отношению длин соответствующих сторон треугольника ABC:

AK/CK = BK/CK VK/CK = CK/MK

Поскольку треугольник АКО подобен треугольнику ABC, углы A и AOK равны. Значит, угол AOK равен 72 градусам.

Также, поскольку треугольник ВКО подобен треугольнику ABC, углы B и BOK равны. Значит, угол BOK равен 60 градусам.

Теперь мы можем записать отношение:

AK/CK = BK/CK

Отбросим общий знаменатель CK:

AK = BK

Это означает, что отрезки AK и BK равны. То же самое можно сказать и о треугольниках ВКО и АМО, следовательно, отрезки VK и MK также равны.

Теперь мы видим, что треугольник АКО - это равнобедренный треугольник, так как отрезки AK и BK равны.

У нас есть два равных угла в треугольнике АКО: AOK = 72 градуса и AKO = AOB.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем записать:

AOK + AKO + KOA = 180

72 + AOB + 90 = 180

ABO = 18 градусов

Таким образом, угол AOB равен 18 градусам.