Question

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке K, а сторону CB в точке Д. Докажите, что АК=CL.

Answer 1

Рассмотрим прямые BC и AD. Они параллельны, так как   ABCD - параллелограмм. Прямая LK - секущая, значит  (уг. LCO = уг. AKO) уг. LCO = уг. OAK как накрестлежащие. Уг. LOC = уг. KOA как вертикальные углы. AO = OC , так как О - точка пересечения диагоналей параллелограмма ( по свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам). Следовательно, уг. AOK = уг. СOL по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и прилежащим к ней углам), значит, AK =CL

Answer 2

Для доказательства АК=CL в параллелограмме ABCD, где О - точка пересечения диагоналей, K - точка пересечения прямой с AD, а L - точка пересечения прямой с CB, мы можем использовать свойства параллелограмма и свойства пересекающихся прямых.

По свойству параллелограмма, диагонали AC и BD делятся точкой O пополам. То есть, OA = OC и OB = OD.

Теперь рассмотрим треугольники AOK и COL.

В треугольнике AOK:

1. Точка O является серединой диагонали AC, следовательно, AO = OC.
2. Прямая KL является прямой, пересекающей сторону AD параллелограмма.
3. Так как ОС - диагональ параллелограмма, которая делит его пополам, прямая KL пересекает сторону AD также пополам.

Аналогично, в треугольнике COL:

1. Точка O является серединой диагонали BD, следовательно, OB = OD.
2. Прямая KL является прямой, пересекающей сторону CB параллелограмма.
3. Так как ОА - диагональ параллелограмма, которая делит его пополам, прямая KL пересекает сторону CB также пополам.

Из этих рассуждений следует, что AO = OC и OB = OD в параллелограмме ABCD и что прямая KL делит стороны AD и CB пополам.

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Мы знаем, что AO = OC (из свойства параллелограмма) и прямая KL делит сторону AD пополам. Значит, точка K является серединой стороны AD, то есть AK = KD.

Аналогично, рассмотрим треугольник BOD. Мы знаем, что OB = OD (из свойства параллелограмма) и прямая KL делит сторону CB пополам. Значит, точка L является серединой стороны CB, то есть LC = LD.

Теперь мы можем сравнить AK и CL: AK = KD (из рассуждений о треугольнике AOC) LC = LD (из рассуждений о треугольнике BOD)

Так как KD = LD (оба равны половине стороны AD), мы можем заключить, что AK = CL (оба равны половине стороны CB).

Таким образом, доказано, что AK = CL в параллелограм