Question

Найдите длины векторов m=2a+3b ,n=2a-3b,их скалярное произведение и угол между ними,если a=i-j+2k,b=2i+2j

Answer 1

A=i-j+2k,   a{1;-1;2}.
b=2i+2j,  b{2;2;0}

m=2a+3b,  m{2*1+3*2; 2*(-1)+3*2; 2*2+3*0}. m{8;4;4}
$|m|= \sqrt{ 8^{2}+ 4^{2} + 4^{2} } = \sqrt{96}$

$|n|= \sqrt{(-4) ^{2} +(-8) ^{2} +4 ^{2} } = \sqrt{96}$

n=2a-3b,     n{2*1-3*2; 2*(-1)-3*2; 2*2-3*0}.    m{-4; -8; 4}
m*n=(8*(-4)+4*(-8)+4*4)=-48. m*n=-48

$cos(m n)= \frac{m*n}{|m|*|n|}$
$cos(m n)= \frac{-48}{ \sqrt{96} * \sqrt{96} }=- \frac{48}{96} =- \frac{1}{2}$

(m n)=120°

Answer 2

Для начала найдем векторы m и n, используя заданные значения для a и b.

Дано: a = i - j + 2k b = 2i + 2j

m = 2a + 3b = 2(i - j + 2k) + 3(2i + 2j) = 2i - 2j + 4k + 6i + 6j = 8i + 4j + 4k

n = 2a - 3b = 2(i - j + 2k) - 3(2i + 2j) = 2i - 2j + 4k - 6i - 6j = -4i - 8j + 4k

Теперь найдем длины векторов m и n.

Длина вектора m: |m| = sqrt((8)^2 + (4)^2 + (4)^2) = sqrt(64 + 16 + 16) = sqrt(96) = 4√6

Длина вектора n: |n| = sqrt((-4)^2 + (-8)^2 + (4)^2) = sqrt(16 + 64 + 16) = sqrt(96) = 4√6

Теперь найдем скалярное произведение векторов m и n.

m · n = (8)(-4) + (4)(-8) + (4)(4) = -32 - 32 + 16 = -48

Наконец, найдем угол между векторами m и n.

cosθ = (m · n) / (|m| |n|) = -48 / (4√6)(4√6) = -48 / (16√6) = -3 / √6

θ = arccos(-3 / √6) ≈ 2.617993878 radians ≈ 150 degrees

Таким образом, длины векторов m и n равны 4√6, скалярное произведение равно -48, а угол между ними примерно 150 градусов.