Question

Около правильной треугольной призмы, все ребра которой равны а , описан шар. Найдите радиус шара.

Answer 1

Пусть ABC и A1B1C1 основания О и O1 центры оснований Центр X сферы лежит на средине OO1, XO=a/2, AO=2/3*(Кор(3)/2)a, (2/3 медианы основания),XA=R (Искомый радиус).

XO^2+AO^2=XA^2=R^2=(a^2)/4+(a^2)/3=7/12*a^2

R=кор(7/12)*a

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать геометрические свойства правильной треугольной призмы.

Правильная треугольная призма имеет равносторонний треугольник в основании и все ребра одинаковой длины. Рассмотрим основание призмы как равносторонний треугольник со стороной а.

Так как описанный шар полностью охватывает призму, его центр будет совпадать с центром описанной окружности основания треугольника.

Радиус описанной окружности равно расстоянию от центра окружности до любой из ее точек. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности является медианой, проведенной из одного из вершин треугольника.

В равностороннем треугольнике медиана делит сторону пополам и проходит через точку пересечения медиан, деля их на отрезки в соотношении 2:1.

Таким образом, медиана в равностороннем треугольнике будет равна (2/3) от высоты треугольника. Высота треугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора: h = a * sqrt(3) / 2.

Тогда радиус описанной окружности будет равен:

r = (2/3) * h = (2/3) * (a * sqrt(3) / 2) = a * sqrt(3) / 3.

Таким образом, радиус шара, описанного вокруг правильной треугольной призмы с ребрами a, равен a * sqrt(3) / 3.