Question

Вершинами четырехугольника являются середины сторон ромба со стороной 4 см и углом 120 градусов. Найдите его площадь.   Пожалуйста помогите срочно, с решением.

Answer 1

Сделаем рисунок.
Проведем диагонали ВD и АС ромба.
Соединим середины сторон a,b,c,d попарно.
Получившийся четырехугольник - прямоугольник, т.к. его стороны, являясь средними линиями треугольников, на которые делит ромб каждая диагональ - параллельны диагоналям ромба - основаниям этих треугольников.

А диагонали ромба пересекаются под прямым углом,

и поэтому углы четырехугольника также прямые.
Сумма углов параллелограмма ( а ромб - параллелограмм), прилегающих к одной стороне, равна 180°
Так как тупой угол ромба равен 120°, острый равен 60°
Пусть меньшая диагональ d, большая -D
Диагональ d равна стороне ромба, так как образует с двумя сторонами ромба равносторонний треугольник ABD с равными углами 60° .
Большая диагональ D в два раза длиннее высоты АО равностороннего треугольника AB.
АО равна стороне ромба АВ, умноженной на синус угла 60°
АО=4√3:2=2√3
D=АС=4√3
Стороны прямоугольника ( на рисунке красного цвета) равны:
ширина ab равна половине BD и равна 2 см
длина bc  равна половине АС и равна 2√3 см
S abcd=2*2√3=4√3

Answer 2

Чтобы найти площадь четырехугольника, образованного серединами сторон ромба, можно разбить этот четырехугольник на два треугольника и сложить их площади.

Поскольку сторона ромба равна 4 см, то длина каждой из его сторон также равна 4 см. Угол в ромбе равен 120 градусам, что означает, что он делит ромб на два равносторонних треугольника.

Каждый из этих треугольников можно представить в виде двух прямоугольных треугольников со стороной 4 см и углом 60 градусов между ними.

Для прямоугольного треугольника площадь вычисляется по формуле: площадь = (основание * высота) / 2.

В нашем случае основание каждого прямоугольного треугольника равно 4 см, а высота можно найти с помощью тригонометрии.

Высота прямоугольного треугольника со стороной 4 см и углом 60 градусов равна (4 см * √3) / 2.

Таким образом, площадь одного треугольника будет равна: площадь = (4 см * (4 см * √3) / 2) / 2 = (16 см² * √3) / 4 = 4 см² * √3.

Поскольку у нас два таких треугольника, общая площадь четырехугольника будет равна: площадь = 2 * (4 см² * √3) = 8 см² * √3.

Таким образом, площадь четырехугольника составляет 8 см² * √3.