Question

В квадрате ABCD точки K на стороне BC и L на стороне CD выбраны так, что угол KAL равен 45 . Докажите, что два из трех оснований высот треугольника AKL расположены на диагонали BD

Answer 1

AL пересекает диагональ в точке K1.

AK пересекает диагональ в точке L1.

Отрезок KK1 виден из точек A и B под одинаковым углом 45, следовательно точки A, B, K, K1 лежат на одной окружности.

ABK=90 => AK - диаметр => AK1K=90

(Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой.)

Аналогично AL1L=90.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник AKL и его высоты.

Предположим, что основания высот треугольника AKL, обозначим их точками M, N и P, не лежат на диагонали BD. Тогда возможны две ситуации:

1. Оба основания высот лежат на стороне KL. Пусть M и N лежат на стороне KL, а P не лежит на диагонали BD.

   Возможен только один случай, когда P не лежит на диагонали BD. Это означает, что отрезок NP пересекает диагональ BD внутри треугольника AKL. Рассмотрим треугольник ANP. Так как высота AN перпендикулярна стороне KL, а NP пересекает KL, то получается, что AN и NP не могут быть высотами одного треугольника. Противоречие.

2. Одно из оснований высот лежит на стороне KL, а другое – на стороне AL. Пусть M лежит на стороне KL, а N лежит на стороне AL, и P не лежит на диагонали BD.

   Так как MN – высота треугольника AKL, а MN и AP пересекаются внутри треугольника AKL, то MN и AP не могут быть высотами одного треугольника. Противоречие.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и пришли к противоречию в каждом из них. Это означает, что на самом деле два из трех оснований высот треугольника AKL должны лежать на диагонали BD.