Question

В прямоугольном треугольнике АВС с катетами ВС=8, АС=10 через центр О описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная его гипотенузе и пересекающая больший катет в точке К. Найдите длину отрезка АК.

Answer 1

По теореме Пифагора $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$

Т.к. центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, то $AO=\sqrt{41}$

ΔABC ≈ ΔAOK (по трем углам) ⇒

$\frac{AO}{AC}=\frac{AK}{AB}\\AK=\frac{AO*AB}{AC}=\frac{\sqrt{41}*2*\sqrt{41}}{10}=\frac{82}{10}=8.2$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство описанного окружности в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике, описанном около окружности, диаметр окружности совпадает с гипотенузой треугольника. Также известно, что центр окружности лежит на пересечении медиан треугольника. Поэтому, отрезок, проведенный из вершины треугольника к центру окружности, делит его на две равные части.

Таким образом, отрезок AK является медианой треугольника ABC. В прямоугольных треугольниках медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, пропорциональные катетам. То есть, отношение длины каждого из отрезков, на которые медиана делит гипотенузу, к гипотенузе, равно отношению длин катетов.

Длина медианы AM, где M - середина гипотенузы BC, будет равна половине длины гипотенузы:

AM = BC / 2 = 10 / 2 = 5.

Отрезок АК является двумя частями медианы AM, пропорциональными катетам. Поэтому, отношение длины AK к длине KM будет такое же, как отношение длины катета BC к длине гипотенузы AC:

AK / KM = BC / AC.

Длина катета BC равна 8, а длина гипотенузы AC равна 10. Подставим эти значения:

AK / KM = 8 / 10.

Теперь найдем KM. КМ - это половина длины гипотенузы AC:

KM = AC / 2 = 10 / 2 = 5.

Теперь подставим значение KM в уравнение:

AK / 5 = 8 / 10.

Перекрестно умножим и решим для AK:

AK = (8 / 10) * 5 = 4.

Таким образом, длина отрезка АК равна 4.