Question

В прямоугольной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите площадь трапеции, если боковые стороны равны 6 см и 10 см.

Answer 1

Проведем высоту СН

Угол АДВ=ВДС=ДВС (как накрест лежащие при ВС||АД и секущей (биссектриссой) ВД)

Значит треугольник ВДС равнобедренный. СД=ВС=10

АН=ВС=10 по свойству прямоугольника

Рассмотрим треугольник СНД

Угол СНД=90º

По теореме Пифагора

НД=√СД^2-СН^2

НД=√100-36

НД=8

=>АД=18

Площадь = СН*(АД+ВС)/2

=6*28/2=84

Answer 2

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, нужно знать её основания (боковые стороны) и высоту. В данном случае, основания равны 6 см и 10 см.

Так как диагональ является биссектрисой острого угла, она делит острый угол на два равных угла. Обозначим диагональ как "d", а точку пересечения диагонали и основания (более короткого основания) как "M". Поскольку у нас прямоугольная трапеция, угол между диагональю и более длинным основанием будет прямым.

Мы можем использовать теорему синусов в треугольнике DCM (где D - вершина трапеции, C - основание длиной 10 см, а M - точка пересечения диагонали с более коротким основанием):

sin(DCM) / DC = sin(DMC) / MC

Поскольку углы DCM и DMC равны, sin(DCM) = sin(DMC). Заметим также, что DC равно основанию в 10 см. Таким образом, уравнение упрощается:

sin(DCM) / 10 = sin(DMC) / MC

Также известно, что MC = 6 см - основание более короткой стороны трапеции.

Поскольку sin(DCM) = sin(DMC), мы можем записать:

sin(DCM) / 10 = sin(DCM) / 6

Теперь мы можем решить это уравнение относительно sin(DCM):

6 * sin(DCM) = 10 * sin(DCM) sin(DCM) * (10 - 6) = 0 sin(DCM) = 0

Угол DCM равен нулю, что означает, что DCM - это прямой угол.

Теперь мы знаем, что прямоугольная трапеция стала прямоугольником, и её площадь равна произведению оснований (боковых сторон):

Площадь = (основание1 + основание2) * высота / 2 = (6 + 10) * MC / 2 = 16 * MC / 2 = 8 * MC

Таким образом, площадь трапеции равна 8 умножить на длину более короткого основания MC.