Question

на стороне АВ параллелограмма АВСD проведена произвольная точка G. Докажите, что сумма площадей треугольников ACG и BGD равна половине площади параллелограмма.

Answer 1

SтреугАВД=SтреугДВС=1/2SАВСД

SтреугАВД=SтреугВДG+SтреугAGД = 1/2SАВСД

SтреугАGД=SтреугACG,так как у них одно основание AG и одна высота h,следовательно  1/2SАВСД=SтреугВДG+SтреугAGД что и требовалось доказать.

файл вложен

Answer 2

Для доказательства этого факта воспользуемся геометрическими свойствами параллелограмма.

Пусть точка G делит сторону AB в отношении m:n, где m и n - положительные числа.

Тогда длина отрезка AG равна (m/(m+n)) * AB, а длина отрезка BG равна (n/(m+n)) * AB.

Рассмотрим площадь треугольника ACG. Её можно выразить как половину произведения длины базы AC на высоту, опущенную на эту базу.

Высота треугольника ACG, опущенная из вершины C, будет равна высоте параллелограмма, так как стороны AC и BD параллельны. Обозначим эту высоту через h.

Тогда площадь треугольника ACG равна (1/2) * AC * h.

Аналогично, площадь треугольника BGD будет равна (1/2) * BD * h.

Заметим, что AC и BD равны по длине, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма.

Таким образом, площадь треугольника ACG равна площади треугольника BGD.

Теперь суммируем площади треугольников ACG и BGD:

(1/2) * AC * h + (1/2) * BD * h = (1/2) * (AC + BD) * h

Поскольку AC и BD равны по длине, то AC + BD равно AB.

Таким образом, сумма площадей треугольников ACG и BGD равна (1/2) * AB * h.

Но h - это высота параллелограмма, поэтому площадь параллелограмма равна AB * h.

Таким образом, сумма площадей треугольников ACG и BGD равна половине площади параллелограмма, что и требовалось доказать.