Question

В окружности с центром О проведена хорда АВ. отрезок ОС-радиус окружности, перпендикулярный к АВ. дакажите что луч СО-биссектриса угла АСВ

Answer 1

Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Пусть т.К - точка пересечения СО и АВ. Значит АК=КВ. Рассмотрим треугольники СКА и СКВ: они прямоугольные и у них катет СК - общий, а катеты АК и КВ равны. Тр-ки равны по двум катетам, значит равны и соответствующие углы: АСК и ВСК, а это значит, что СО - бис-са угла АСВ, ч.т.д.

Answer 2

Чтобы доказать, что луч СО является биссектрисой угла АСВ, нужно показать, что он делит этот угол пополам. Для этого мы можем использовать свойство перпендикуляра к хорде, которое гласит, что перпендикуляр, опущенный из центра окружности к хорде, делит ее пополам.

Пусть точка М является серединой хорды АВ. Тогда, по свойству перпендикуляра, отрезок ОМ будет перпендикулярен к хорде АВ и будет делить ее пополам, то есть ОМ = МС = ОС.

Теперь рассмотрим треугольники ОМС и ОМА. У них ОМ общая сторона, ОС = ОМ и по построению, поэтому эти треугольники равны по стороне-стороне-стороне (С-С-С). Таким образом, ∠ОСМ = ∠ОМС.

Теперь рассмотрим треугольники ОМС и ОМВ. У них ОМ общая сторона, ОС = ОМ и по построению, поэтому эти треугольники равны по стороне-стороне-стороне (С-С-С). Таким образом, ∠ОСМ = ∠ОМВ.

Из равенства ∠ОСМ = ∠ОМС и ∠ОСМ = ∠ОМВ следует, что ∠ОМС = ∠ОМВ.

Так как ∠ОМС = ∠ОМВ и ∠ОСМ = ∠ОМВ, то можно заключить, что ∠ОСМ = ∠ОСВ.

Поскольку угол СОМ равен себе самому, то он делит угол АСВ пополам. Следовательно, луч СО является биссектрисой угла АСВ.