Question

в остроугольном треугольнике abc точки а, с, центр описанной окружности O ицентр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите что угол авс равен 60 градусов

Answer 1

Центр описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров, а центром вписанной- точка пересечения биссектрис. раз они лежат на одной окружности, как и точки А и С, то делаем вывод, что эти центры совпадают. а совпадают они только в одном случае, если  треугольник АВС- равносторонний. значит, все его углы равны 60*

Answer 2

Для доказательства того, что угол AVS равен 60 градусов, нам понадобится использовать свойства остроугольных треугольников и свойства описанной и вписанной окружностей.

Пусть точка B - это центр вписанной окружности треугольника ABC, а точка O - это центр описанной окружности треугольника ABC. Так как точки A, C, O и B лежат на одной окружности, то угол AOC будет вписанным углом, а угол ABC будет центральным углом, соответствующим этому вписанному углу. Поэтому угол ABC равен вдвое углу AOC.

Также известно, что I - это центр вписанной окружности треугольника ABC, поэтому угол BIC является вписанным углом. Угол BIC равен половине угла ABC (так как угол BIC - это половина центрального угла ABC, соответствующего вписанному углу BAC).

Итак, у нас есть: угол ABC = 2 * угол AOC угол BIC = 0.5 * угол ABC = угол AOC

Из этих двух уравнений следует, что угол BIC = угол AOC.

Теперь рассмотрим треугольник AVS. Угол AVS является вписанным углом, так как точки A, V, S и O лежат на одной окружности. Поэтому угол AVS равен половине угла AOS (центрального угла, соответствующего вписанному углу AVS).

Но угол AOS - это сумма углов AOC и COS. Мы уже знаем, что угол BIC = угол AOC, поэтому угол AOS = угол BIC + угол COS.

Таким образом, у нас есть: угол AVS = 0.5 * угол AOS = 0.5 * (угол BIC + угол COS)

Из этого уравнения видно, что чтобы угол AVS был равен 60 градусам, угол BIC должен быть равен 60 градусам, так как угол COS равен 0 градусов.

Таким образом, чтобы доказать, что угол AVS равен 60 градусам, необходимо доказать, что угол BIC равен 60 градусам.