Question

Один из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон один см

Answer 1

АС — диагональ и высота параллелограмма АВСD.
пусть АВ=DC=х,
тогда AD=ВС=(х+1).
Р = 2*х+2*(х+1) = 4*х+2 = 50,
х = (50-2)/4 = 12.
АВ=DC=12 (см), а AD=ВС=(12+1)=13 (см).
АD — гипотенуза прямоугольного треугольника ADC
AD^2 = АС^2+DC^2(по теореме Пифагора)
13^2 = АС^2+12^2
АС^2 = 13^2-12^2
АС = корень из (13^2-12^2) = корень из (169-144) = корень из (25) = 5 (см)

Answer 2

Давайте обозначим стороны параллелограмма как a и b. Поскольку разность смежных сторон равна 1 см, мы можем записать уравнение:

b - a = 1 ...(1)

Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон, поэтому:

2a + 2b = 50 ...(2)

Мы знаем, что одна из диагоналей является высотой параллелограмма. Пусть d будет диагональю, являющейся высотой. По определению высоты параллелограмма, она перпендикулярна основанию и проходит через его вершину. Таким образом, высота d разделяет параллелограмм на два прямоугольных треугольника.

Мы можем использовать теорему Пифагора для этих треугольников, чтобы найти связь между сторонами параллелограмма. Один из треугольников имеет стороны a и d, а другой - стороны b и d. Мы можем записать уравнения:

a² + d² = b² ...(3) b² + d² = a² ...(4)

Теперь у нас есть система из четырех уравнений (1), (2), (3) и (4), и мы можем решить ее, чтобы найти значения a, b и d.

Используя уравнение (1), мы можем выразить a через b:

a = b - 1

Подставим это значение в уравнение (2):

2(b - 1) + 2b = 50

Раскроем скобки:

2b - 2 + 2b = 50

Соберем коэффициенты при b:

4b - 2 = 50

Добавим 2 к обеим сторонам:

4b = 52

Разделим обе стороны на 4:

b = 13

Теперь, используя найденное значение b, мы можем выразить a:

a = b - 1 a = 13 - 1 a = 12

Теперь мы знаем значения a и b, и можем найти диагональ d, используя уравнение (3):

a² + d² = b² 12² + d² = 13² 144 + d² = 169

Вычтем 144 из обеих сторон:

d² = 169 - 144 d² = 25

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

d = √25 d = 5

Таким образом, диагональ, являющаяся высотой параллелограмма, равна 5 см.