Question

Найдите площадь круга вписанного в прямоугольный треугольник если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 см.

Answer 1

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник (с катетами a, b и гипотенузой c) окружности равен r=(a+b-c)/2.
Следовательно, нам надо найти катеты треугольника, поскольку гипотенуза нам известна.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит ее на отрезки так, что квадрат высоты равен произведению этих отрезков.
В нашем случае высота ВН=√(АН*НС)=√(16*9)=12см.
Тогда из прямоугольных треугольников АВН и СВН по Пифагору находим катеты АВ=√(ВН²+АН²)=√(144+256)=20см.
ВС=√(ВН²+СН²)=√(144+81)=15см.
По формуле радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности имеем:
r=(a+b-c)/2, где а,b - катет с - гипотенуза.
В нашем случае r=(20+15-25)/2=5см.
Тогда площадь вписанной окружности равна S=πR²=25π см²
Ответ: S=25π см².

Answer 2

Чтобы найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, мы должны знать радиус этого круга. Радиус можно найти с помощью формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, которая гласит:

$r = \frac{{\text{{периметр треугольника}}}}{2(\text{{полупериметр треугольника}})}$

В данном случае, треугольник прямоугольный, поэтому можно использовать формулу Пифагора для нахождения полупериметра треугольника:

$полупериметр = \frac{{a + b + c}}{2}$

где a и b - проекции катетов на гипотенузу, а c - гипотенуза.

В данном случае, a = 9 см, b = 16 см. Мы не знаем значение гипотенузы, поэтому нам нужно найти ее с помощью теоремы Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

После нахождения гипотенузы, мы можем вычислить полупериметр, а затем и радиус вписанной окружности. Площадь круга можно вычислить с помощью формулы:

$S = \pi r^2$

Таким образом, сначала найдем гипотенузу:

$c^2 = 9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337$ $c = \sqrt{337} \approx 18.36$

Теперь найдем полупериметр треугольника:

$полупериметр = \frac{9 + 16 + 18.36}{2} \approx 21.18$

И, наконец, найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{2 \times 21.18}{2 \times 18.36} \approx 1.15$

Теперь можем найти площадь круга:

$S = \pi \times (1.15)^2 \approx 4.17$

Таким образом, площадь вписанного в прямоугольный треугольник круга составляет примерно 4.17 квадратных сантиметра.