Question

докажите,что диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,то он называеться раллелограммом

Answer 1

Параллелограмм - четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Докажем, например, что параллельны AD и BC (другая пара сторон рассматривается аналогично)
Заметим, что треугольники AOD и BOC равны (AO = OC и BO = OD по условию, углы AOD и BOC равны, поскольку они вертикальные). Тогда равны углы OAD и OCB, но они - внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей AC. По признаку AD и BC параллельны.

Спойлер: доказательство этого факта можно найти в любом учебнике геометрии.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения нам понадобится использовать свойства параллелограмма.

Предположим, что у нас есть четырехугольник ABCD, у которого диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся пополам.

Для начала рассмотрим треугольники ABO и CDO.

1. Диагонали AC и BD делятся пополам: AO = OC и BO = OD.
2. Диагонали пересекаются в точке O.
3. Треугольники ABO и CDO имеют общую сторону AB = CD, так как это стороны параллелограмма.
4. Также, треугольники имеют равные диагонали AO = OC и BO = OD.
5. Следовательно, по принципу равенства треугольников, треугольники ABO и CDO равны по стороне и двум диагоналям, их содержащим.
6. В частности, у них равны углы BAO и CDO.

Теперь рассмотрим треугольники AOD и BOC.

7. Диагонали AC и BD делятся пополам: AO = OC и BO = OD.
8. Диагонали пересекаются в точке O.
9. Треугольники AOD и BOC имеют общую сторону AD = BC, так как это стороны параллелограмма.
10. Также, треугольники имеют равные диагонали AO = OC и BO = OD.
11. Следовательно, по принципу равенства треугольников, треугольники AOD и BOC равны по стороне и двум диагоналям, их содержащим.
12. В частности, у них равны углы ADO и BCO.

Итак, мы доказали, что в параллелограмме диагонали пересекаются в точке O и делятся пополам.