Question

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам относятся как √2:1. Найти углы треугольника.

Answer 1

АВС - прямоугольный тр-ник, ∠С=90°, АК и ВМ - медианы, АК:ВМ=√2:1.
Пусть СМ=х, СК=у, тогда АС=2х, ВС=2у.
В тр-ке АСК АК²=АС²+СК²
2=4х²+у².
В тр-ке ВСМ ВМ²=ВС²+СМ²,
1=4у²+х² ⇒ х²=1-4у², подставим это в уравнение выше:
2=4(1-4у²)+у²,
2=4-16у²+у²,
15у²=2,
у²=2/15, х²=1-8/15=7/15,
АС=2х=√(28/15), ВС=2у=√(8/15).
tgA=ВС/АС=√(8/28)=√(2/7).
∠А=arctg√(2/7)≈28°,
∠B=∠C-∠A=90-28≈62°.
Ответ: углы треугольника АВС равны 28° , 62°  и 90°  соответственно.

Answer 2

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AC является гипотенузой, а BC и AB - катетами. Пусть медианы AD и BE проведены к катетам BC и AB соответственно. Тогда, согласно условию, отношение длины медиан AD и BE к катетам BC и AB соответственно равно √2:1.

Пусть BC = a и AB = b, тогда AD = √2k и BE = k, где k - некоторая константа.

Медианы треугольника делят его на шесть маленьких треугольников. Одно из них является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой AD и катетами CD и AD/2.

По теореме Пифагора для этого треугольника имеем: (AD/2)^2 + CD^2 = (AD)^2

Подставим AD = √2k и CD = BC/2 = a/2: (√2k/2)^2 + (a/2)^2 = (√2k)^2 2k/4 + a^2/4 = 2k

Упростим это выражение: k/2 + a^2/4 = 2k a^2/4 - k/2 = 2k - k/2 a^2/4 - k/2 = 3k/2

Далее, медиана BE является высотой для этого треугольника, а высота равна BC^2/AD. Подставим значения: BE = BC^2/AD k = a^2/(√2k) k^2 = a^2/(√2)

Теперь у нас есть два уравнения: a^2/4 - k/2 = 3k/2 (1) k^2 = a^2/(√2) (2)

Решая эти уравнения, мы можем найти значения a и k. После этого, используя тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника, мы можем вычислить значения углов треугольника ABC.