Question

Около правильного треугольника АВС описана окружность , Длина дуги АВ равна 2 п (пи)Найдите :а)радиус данной окружности.б)длину одной из медиан треугольника.

Answer 1

Равные хорды стягивают равные дуги.

ΔАВС равносторонний, значит точки А, В и С делят окружность на 3 равные дуги, длина каждой равна 2π.

Тогда длина окружности:

C = 2π · 3 = 2πR

R = 3.

ВО = R = 3.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности лежит в точке пересечения медиан (так как все замечательные точки треугольника совпадают). Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит

ВН = ВО / (2/3) = 3 · 3 / 2 = 9/2 = 4,5.

Answer 2

а) Чтобы найти радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, нужно использовать свойство описанной окружности, которое гласит: радиус описанной окружности равен половине длины стороны треугольника, умноженной на √3.

Длина дуги АВ равна 2π, что соответствует углу в 60 градусов (потому что полный оборот окружности равен 360 градусам, а треугольник АВС — равносторонний, поэтому каждый угол равен 60 градусам).

Таким образом, длина стороны треугольника АВС равна длине дуги АВ, деленной на угол в радианах: длина стороны = (2π) / (2π/3) = 3.

Радиус описанной окружности равен половине длины стороны, умноженной на √3: радиус = (3/2) * √3 = (3√3)/2.

Таким образом, радиус данной окружности равен (3√3)/2.

б) Медиана треугольника делит сторону пополам и проходит через противоположный ей угол. В случае равностороннего треугольника, медиана является симедианой (биссектрисой) и делит угол пополам.

В равностороннем треугольнике все медианы равны между собой. Длина каждой медианы равна двум третям длины соответствующей стороны.

Длина стороны треугольника АВС равна 3 (как мы узнали в пункте а)).

Таким образом, длина одной из медиан треугольника равна (2/3) * 3 = 2.