Question

Хорда проведена параллельно касательной к окружности. Докажите, что концы хорды и точка касания образуют равнобедренный треугольник.

Answer 1

Расстояния точек касания хорды АВ равноудалены от центра окружности О на расстояние = радиусу R. 
Проведи прямую ОС, соединяющую центр окружности О и точку касания.С Эта прямая перпендикулярна и хорде АВ и касательной и т.к. они параллельны, и проходит через середину АВ. Значит, эта прямая ОС является высотой для треугольников АСВ и АОВ. Точка С, лежащая на перпендикуляре СО, проведенная к отрезку АВ через его середину, равноудалена от концов этого отрезка, значит и АС=СВ, т.е треугольник АСВ - равнобедренный.

Answer 2

Пусть дана окружность с центром O и радиусом r. Пусть AB - касательная к окружности в точке A, а CD - параллельная хорда с концами C и D, как показано на рисунке ниже:

mathematicaCopy code
      C                  D
       ------------------
      /                  \
     /                    \
    /                      \
   /                        \
A--------------------------B
            O

Нам нужно доказать, что треугольник ABC является равнобедренным.

Доказательство:

1. Поскольку AB - касательная к окружности, то угол AOB является прямым углом, так как прямая, проведенная через точку касания, перпендикулярна к радиусу, проведенному в эту точку.

2. Из условия, CD - параллельна AB. Поэтому угол ACD также является прямым углом, так как он соответствует углу AOB.

3. Поэтому углы ACD и AOB равны друг другу и равны 90 градусам.

4. Кроме того, поскольку AB - касательная, то угол ACB также является прямым углом (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания).

5. Из углового свойства треугольника имеем: угол ACD = угол ACB.

6. Таким образом, треугольник ABC имеет два равных угла (ACD и ACB), что делает его равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что концы хорды (C и D) и точка касания (A) образуют равнобедренный треугольник ABC.