Question

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F-середина CD

Answer 1

Пользуясь теоремой о биссектрисе угла (каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон) можно сделать вывод, что точка F- Точка пересечения двух биссектрис, получается эта точка одновременно лежит и на первой биссектрисе, и на второй, поэтому она равноудалена от сторон AD и BC. это означает, что перпендикуляр, опущенный на *прямую* AB, равен перпендикуляру, опущенному на сторону ВС, дальше нужно доказать, что СF=FD, как соответственно равны стороны прямоугольных треугольников, катеты которых равны нашим перпендикулярам, доказать равенство треугольников нужно через равенство перпендикуляров, и прилежащих к ним углов( один из них прямой, а другой равен другому как вертикальные), то есть по второму признаку равенства треугольников

Answer 2

Для доказательства того, что точка пересечения биссектрис углов A и B параллелограмма ABCD (обозначим её как F) является серединой стороны CD, мы можем использовать следующие свойства параллелограмма и биссектрисы:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть AB = CD и AD = BC.
2. Биссектриса угла делит его на два равных угла.
3. Если биссектрисы двух углов пересекаются внутри фигуры, то эта точка делит противоположные стороны на равные отрезки.

Исходя из данных свойств, докажем, что F является серединой стороны CD:

Рассмотрим треугольники ADF и BCF. У них есть следующие равенства сторон и углов:

AD = BC (свойство параллелограмма) AF = BF (так как F - точка пересечения биссектрис) ∠ADF = ∠BCF (так как биссектрисы делят соответствующие углы на равные части)

Теперь рассмотрим отрезок CD. По свойству параллелограмма CD = AB.

Поскольку F является точкой пересечения биссектрис углов A и B, она делит стороны AD и BC на равные отрезки, то есть AF = FD и BF = FC.

Теперь сравним отрезки CD и AB:

AB = CD (свойство параллелограмма) AF + FB = FD + DC + FC (по свойству равенства отрезков) AF + FB = FD + FC (так как CD = AB)

Теперь заметим, что AF = FD и BF = FC, поэтому можно записать:

AF + FB = FD + FC FD + FB = FD + FC FB = FC

Таким образом, мы доказали, что F делит сторону CD параллелограмма ABCD пополам, то есть F является серединой стороны CD.