Question

В треугольниках ABC и DEF проведены высоты BH и EM. Известно,что BH=EM,а сторона AC в 5 раз больше стороны DF. Площадь треугольника DEF равна 6.Найдите площадь треугольника ABC.

Answer 1

Если у треугольников одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).
В нашем случае АС/DF=5, значит Sabc|Sdef=5. Значит Sabc=5*6=30.
Ответ: Sabc=30.

Answer 2

Обозначим стороны треугольников ABC и DEF следующим образом: AB = a, BC = b, AC = c DE = x, EF = y, DF = z

Известно, что BH = EM, а сторона AC в 5 раз больше стороны DF. Таким образом, BH = EM = z.

Площадь треугольника DEF равна 6. Площадь треугольника DEF выражается через его стороны по формуле: S_DEF = (1/2) * z * y

Зная, что BH = EM = z, можно выразить площадь треугольника ABC через его стороны: S_ABC = (1/2) * c * BH = (1/2) * c * z

Из условия задачи известно, что сторона AC в 5 раз больше стороны DF: c = 5z

Подставим это выражение в формулу для площади треугольника ABC: S_ABC = (1/2) * (5z) * z = (5/2) * z^2

Теперь мы можем решить систему уравнений: S_DEF = 6 S_ABC = (5/2) * z^2

Подставим значение S_DEF в уравнение для S_ABC: 6 = (5/2) * z^2

Умножим обе части уравнения на 2/5: 12/5 = z^2

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения: √(12/5) = z

Теперь, когда мы знаем значение z, можем найти площадь треугольника ABC: S_ABC = (5/2) * z^2 = (5/2) * (√(12/5))^2 = (5/2) * (12/5) = 6

Таким образом, площадь треугольника ABC также равна 6.