Question

В треугольнике ABC угол C равен 30°, AB = 16. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Answer 1

По теореме синусов

АВ/sin 30°=2R            R-радиус описанной окружности

sin 30°=1/2

2R=16*2

R=16         Ответ  16

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, мы можем использовать свойство описанной окружности, которое гласит: "Величина центрального угла, опирающегося на дугу, равна удвоенной величине угла, образованного хордой и касательной, проведенными из точки касания до концов хорды".

В данном случае, угол CAB является центральным углом, опирающимся на дугу CB. Поскольку угол C равен 30°, то угол CAB будет удвоен и составит 60°.

Теперь мы можем нарисовать треугольник ABC с известным углом CAB = 60° и стороной AB = 16.

cssCopy code
           A
          / \
         /   \
      c /     \ b
       /       \
      /_________\
     B     a     C

Для нахождения радиуса описанной окружности мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * a * b * sin(CAB),

где a, b - стороны треугольника, CAB - угол между этими сторонами.

Мы знаем сторону AB = 16 и угол CAB = 60°. Подставим значения в формулу:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * 16 * 16 * sin(60°) = 128 * √3.

Также известно, что площадь треугольника ABC равна произведению радиуса описанной окружности R на полупериметр треугольника p (площадь треугольника ABC = R * p).

Треугольник ABC является равносторонним, поэтому его полупериметр p равен сумме всех сторон, деленной на 2:

p = (a + b + c) / 2 = (16 + 16 + 16) / 2 = 24.

Теперь мы можем записать уравнение:

128 * √3 = R * 24.

Делим обе части уравнения на 24:

R = (128 * √3) / 24 = (32 * √3) / 6 = (16 * √3) / 3 ≈ 9.237.

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, составляет около 9.237.