Question

стороны треугольника ABC равны 1, O — точка пересечения медиан АА1, ВВ1, СС1. найдите длину вектора: а) AA1 б) АО в) ОА1

Answer 1

Ответ:

Вектор АА1 = √0,75.

Вектор АО = (2/3)·√0,75.

Вектор ОА1 = (1/3)·√0,75.

Объяснение:

Треугольник правильный => углы равны 60°.

Вектор АА1 = АВ+ВА1 (по правилу сложения векторов).

Модуль (длина) вектора суммы находится по теореме косинусов:

АА1 = √(АВ²+ВА1²-2АВ·ВА·Cos60) = √(1+0,25-0,5) = √0,75.

Вектор АО = (2/3)·АА1 = 2·√0,75/3

вектор ОА1 = (1/3)·АА1 = √,75/3  (так как точка О делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины (свойство)

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами медиан треугольника.

Для начала, найдем координаты вершин треугольника ABC. Поскольку стороны треугольника равны 1, можно выбрать следующие координаты для вершин:

A(0, 0) B(1, 0) C(0.5, √(3)/2)

Теперь найдем координаты точки O — точки пересечения медиан треугольника ABC. Так как O является центром тяжести треугольника, координаты O можно найти, как среднее арифметическое координат вершин треугольника:

O((0+1+0.5)/3, (0+0+√(3)/2)/3) O(1/3, √(3)/6)

Теперь мы можем найти векторы AA1, АО и ОА1.

а) Вектор AA1 — это разность координат точек A и A1:

AA1 = A1 - A

A1 — это середина стороны BC, поэтому координаты A1 можно найти, как среднее арифметическое координат вершин B и C:

A1((1+0.5)/2, (0+√(3)/2)/2) A1(0.75, √(3)/4)

Теперь можем найти вектор AA1:

AA1 = A1 - A = (0.75, √(3)/4) - (0, 0) = (0.75, √(3)/4)

б) Вектор АО — это разность координат точек A и O:

АО = O - A = (1/3, √(3)/6) - (0, 0) = (1/3, √(3)/6)

в) Вектор ОА1 — это разность координат точек O и A1:

ОА1 = A1 - O = (0.75, √(3)/4) - (1/3, √(3)/6) = (0.75 - 1/3, √(3)/4 - √(3)/6) = (2/6, √(3)/4 - √(3)/6) = (1/3, √(3)/12)

Итак, получаем следующие длины векторов: а) |AA1| = √((0.75)^2 + (√(3)/4)^2) ≈ 0.9682 б) |АО| = √((1/3)^2 + (√(3)/6)^2) ≈ 0.5774 в) |ОА1| = √((1/3)^2 + (√(3)/12)^2) ≈ 0.2887