Question

Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону на відрізки 21см і 7см починаючи від найбільшої до цього кута вершини. Обчисліть довжини відрізків на які ділить ця бісектриса діагональ прямокутника.(с рисунком)

Answer 1

Угол EAD = угол AEB (BC || AD; AE - секущая)
угол BDA = угол DBC (BC || AD; BD - секущая)
Значит треугольник BFE подобен треугольнику DFA. Запишем пропорцию:
BE/AD = BO/OD
21/(21 + 7) = BO/OD = 3/4
Пусть: BO = 3x; OD = 4x
По теореме Пифагора:
BD² = AB² + AD²
(BO + OD)² = BE² + AD² (угол BAE = угол BEA; значит треугольник ABE равнобедренный)
49x² = 21² + 28²
49х² = 441 + 784 = 1225
7х = 35
х = 5
BO = 3*5 = 15
OD = 4*5 = 20
Ответ: BO = 15; OD = 20

Answer 2

Щоб обчислити довжини відрізків, на які ділить бісектриса кута прямокутника його діагональ, спочатку нам потрібно знайти довжину діагоналі прямокутника.

На рисунку нижче зображено прямокутник ABCD, де AB і BC є його сторонами, а BD - діагональ.

cssCopy code
A-----------------------------B
|                             |
|                             |
|                             |
|                             |
|                             |
|                             |
|                             |
D-----------------------------C

За відомими довжинами сторін, ми можемо використовувати теорему Піфагора для знаходження довжини діагоналі.

За теоремою Піфагора:

BD² = AB² + AD²

Знаючи, що AB = 21 см і AD = 7 см (згідно з умовою), ми можемо підставити ці значення в рівняння:

BD² = 21² + 7² BD² = 441 + 49 BD² = 490

Тепер візьмемо квадратний корінь з обох боків рівняння, щоб знайти довжину діагоналі BD:

BD = √490 BD ≈ 22.14 см

Отже, довжина діагоналі BD прямокутника становить близько 22.14 см.

Тепер, коли ми знаємо довжину діагоналі, ми можемо визначити довжини відрізків на які ділить бісектриса кута.

За відому властивість бісектриси кута, вона ділить протилежну сторону прямокутника у відношенні, рівному відношенню довжин інших двох сторін, з якими вона суміжна.

Отже, довжини відрізків, на які ділить бісектриса діагональ, будуть пропорційні до відношення довжин інших двох сторін прямокутника.

В нашому випадку, довжина відрізка на який бісектриса ділить діагональ буде пропорційна до відношення довжин AB і BC.

AB : BC = 21 : 7 = 3