Question

Два игрока, Петя и Ваня, играют в такую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 30 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче – S камней, S > 15. Перечислите как можно больше различных значений S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого такого значения S укажите ведущий к выигрышу первый ход Пети. Необходимо записать не только ответ, но и подробное обоснование!

Answer 1

Ответ:

S1=31

S2=32

Объяснение:

Чтобы выиграть первым ходом, в куче должно быть от 16 до 30 камней включительно. Соответственно, чтобы выиграть вторым ходом, необходимо чтобы камней было в два раза больше (если первым ходом игрок уменьшает число камней в два раза), то есть от 31 до 60 камней.

Но первым ходом игрок не обязательно уменьшает число камней в два раза. Он может просто взять один камень. В этом случае, в куче должно быть 31 или 32 камня.

С учетом того, что согласно условию задачи, выигрыш должен наступить независимо от того, каким будет первый ход, искомые значения 31 и 32.

Answer 2

#### Правила игры Данная игра представляет собой соревнование между двумя игроками, Петей и Ваней. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, начиная с Пети. За один ход игрок может либо убрать из одной из куч один камень, либо уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечетное, то остается на 1 камень больше, чем убирается). Игра продолжается до тех пор, пока суммарное количество камней в кучах не станет не более 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 30 или меньше камней. #### Поиск значений S Нам нужно найти значения S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня. Для начала, давайте рассмотрим возможные ходы Пети из начальной позиции (15, S), где S > 15: 1. Петя может убрать один камень из первой кучи, оставив позицию (14, S). В этом случае, Ваня может убрать один камень из второй кучи, оставив позицию (14, S-1). Теперь Петя может убрать один камень из второй кучи, оставив позицию (14, S-2). Ваня может продолжать убирать по одному камню из второй кучи, но в итоге Петя всегда сможет выиграть своим вторым ходом, оставив позицию (14, 30) или (14, 29). 2. Петя может убрать один камень из второй кучи, оставив позицию (15, S-1). В этом случае, Ваня может убрать один камень из первой кучи, оставив позицию (14, S-1). Теперь Петя может убрать один камень из первой кучи, оставив позицию (13, S-1). Ваня может продолжать убирать по одному камню из первой кучи, но в итоге Петя всегда сможет выиграть своим вторым ходом, оставив позицию (30, S-1) или (29, S-1). Таким образом, мы можем сделать вывод, что для любого значения S > 15, Петя всегда сможет выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня. #### Заключение Таким образом, мы можем перечислить все значения S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом, независимо от ходов Вани: - S > 15 При этих значениях S Петя сможет выиграть своим вторым ходом, оставив позицию, в которой в кучах будет 30 или меньше камней, независимо от ходов Вани. **Примечание:** Данная информация основана на логическом рассуждении и не требует ссылок на внешние источники.