Question

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 80. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 80 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 72. 1. При каких S: 1а) Петя выигрывает первым ходом; 1б) Ваня выигрывает первым ходом? 2. Назовите одно любое значение S, при котором Петя может выиграть своим вторым ходом. 3. Назовите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом.

Answer 1

Итак, начнём с того, что попытаемся понять условие.

У нас есть две кучки камней и два игрока: первый (Петя) и второй (Ваня).Игроки ходят по очереди.За ход в любую из кучек можно либо добавить один камень, либо увеличить количество камней в кучке в два раза.Как только суммарно в кучке стало 73 или более камня, игра заканчивается.Тот, кто ходил последним, выиграл.

Answer 2

Давайте рассмотрим различные сценарии и найдем значения S, удовлетворяющие условиям.

1а) Петя выигрывает первым ходом: Если в начальный момент в первой куче было 7 камней, Петя может сделать такой ход, чтобы удвоить количество камней в первой куче до 14. В этом случае, вне зависимости от значения S во второй куче, суммарное количество камней будет больше или равно 21, что означает, что Петя выигрывает.

1б) Ваня выигрывает первым ходом: Если в начальный момент во второй куче было 1 камень, Ваня может удвоить его до 2. В этом случае, вне зависимости от значения S в первой куче, суммарное количество камней будет равно 9, что означает, что Ваня выигрывает.

2. Петя выигрывает своим вторым ходом: Если Петя хочет выиграть на втором ходу, это означает, что он не может выиграть на первом ходу. Мы уже знаем, что Петя может выиграть на первом ходу, если в первой куче 7 камней. Давайте рассмотрим случай, когда в первой куче 14 камней. Если во второй куче было бы 6 камней, то Петя мог бы сделать ход и оставить 14 камней во второй куче, что позволило бы ему выиграть на втором ходу. Таким образом, при S = 6, Петя может выиграть своим вторым ходом.

3. Значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом: Если Ваня хочет выиграть на первом ходу, то он должен сделать такой ход, чтобы суммарное количество камней было 80 или больше. Поскольку в начальный момент суммарное количество камней равно 7 + S, то условие для выигрыша Вани можно записать как: 7 + S ≥ 80 Это приводит к: S ≥ 73

Таким образом, если S ≥ 73, Ваня может выиграть своим первым ходом. В сценарии, где Петя выигрывает первым ходом при S = 6, Ваня может выиграть на втором ходу.

Итак, ответы на ваши вопросы: 1а) Петя выигрывает первым ходом при любом значении S. 1б) Ваня выигрывает первым ходом, когда S = 1.

2. При S = 6, Петя может выиграть своим вторым ходом.
3. Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом, когда S ≥ 73.