Question

Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 3 камня, а во второй - 2 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в какой-то куче, или добавляет 1 камень в какую-то кучу. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 16. Кто выигрывает при безошибочной игре - игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

Answer 1

Пусть первый игрок ходит первым, а второй - вторым. Для выигрыша первому игроку необходимо первым делом добавить один камень к кучке, где лежат 2 камня. В таком случае будет две кучки по 3 камня в каждой. Теперь самая оптимальная тактика для выигрыша второго игрока - добавить 1 камень к любой из кучке (если он умножит кол-во камней на 3, то в итоге, в кучке будет 9 камней, что запросто даст выиграть первому игроку). Теперь в одной кучке 3 камня, а во второй - 4. Теперь для первого игрока самая оптимальная тактика - добавить один камень в кучку, где находится 3 камня (4:4), второй игрок сможет только добавить один камень в любую из кучек (4:5), первому игроку опять же выгодно добавить камень в кучку, где лежит 4 камня (5:5), где второму игроку уже не важно, какое действие выполнять. В любом случае он проиграет, так как если он добавит один камень, то первому игроку останется умножить кол-во камней в той кучке на 3.

Обобщим:

Для выигрыша, игроку, делающему первый ход, необходимо добавлять по одному камню в кучку, где находится меньшее количество камней. Во всех иных случаях, при оптимальной игре, выигрывает игрок, походивший вторым.

Answer 2

Давайте проанализируем данную игру и определим, какой игрок выигрывает при безошибочной игре.

Игра в данном случае представляет собой комбинацию двух игр: увеличение камней в куче в 3 раза и добавление 1 камня в кучу. Для удобства, давайте рассмотрим оба варианта отдельно.

1. Увеличение камней в куче в 3 раза:

• Если у нас есть куча с 3 камнями, то мы можем увеличить ее в 3 раза и получить 9 камней.
• Если у нас есть куча с 2 камнями, то увеличение в 3 раза не является возможным ходом, так как результат будет нецелым числом.

2. Добавление 1 камня в кучу:

• В данном случае, независимо от того, сколько камней в куче, мы всегда можем добавить 1 камень.

Теперь рассмотрим ситуации, когда первый игрок делает свой ход:

1. Первый игрок увеличивает кучу с 3 камнями в 3 раза и получает 9 камней. Теперь на доске у нас есть две кучки: 9 и 2 камня.

   • Второй игрок может либо увеличить 2-кучку в 3 раза и получить 6 камней (всего 15 камней), либо добавить 1 камень в любую из кучек (всего 12 камней).

2. Первый игрок добавляет 1 камень в 3-кучку и получает 4 камня. Теперь на доске у нас есть две кучки: 4 и 2 камня.

   • Второй игрок может увеличить 2-кучку в 3 раза и получить 6 камней (всего 10 камней), либо добавить 1 камень в любую из кучек (всего 7 камней).

Теперь рассмотрим ситуации, когда второй игрок делает свой ход:

1. Второй игрок увеличивает 2-кучку в 3 раза и получает 6 камней. Теперь на доске у нас есть две кучки: 3 и 6 камней.

   • Первый игрок может увеличить 6-кучку в 3 раза и получить 18 камней, что приведет к победе (общее число камней станет не менее 16).

2. Второй игрок добавляет 1 камень в любую из кучек. Теперь на доске у нас есть две кучки: 3 и 3 камня.

   • Первый игрок может увеличить любую из кучек в 3 раза и получить 9 камней, что приведет к победе (общее число камней станет не менее 16).

Из анализа видно, что независимо от того, какой ход делает первый игрок, второй игрок всегда может сделать такой ход, чтобы общее число камней стало не менее 16. Это означает, что выигрывает игрок, делающий второй ход.

Для выигрыша второго игрока, его первый ход должен быть добавление 1 камня в любую из кучек. Это позволит контролировать ситуацию и приведет к победе, как описано выше.