Question

Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 6, а во второй – 5 камней. У каждого игрока неограниченное количество камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок увеличивает в 2, или в три раза число камней в какой-то куче. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 48. Вопрос : кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте

Answer 1

Ответ:

Первый игрок выигрывает любым ходом, кроме утроения кучки из шести камней.

Второй игрок выигрывает, только если первым ходом была утроена кучка из шести камней.

Объяснение:

48/2=24

48/3=16

Выигрывает тот, у кого на столе было не менее 16 камней на момент его хода.

Таким образом, игра сводится к тому, чтобы на момент хода соперника на столе было меньше 16 камней.

Первый ход: 5*3=15

15 < 16, после первого хода игра выиграна

Первый ход: 5*2=10

10 < 16, после первого хода игра выиграна

Первый ход: 6*3=18

18 > 16, после первого хода игра проиграна

Первый ход: 6*2=12

12 < 16, после первого хода игра выиграна

Answer 2

Давайте рассмотрим эту игру и определим стратегию, которая приведет к выигрышу.

Поскольку каждый игрок может увеличивать количество камней в куче в 2 или в 3 раза, мы можем сделать следующие наблюдения:

1. Число камней в каждой куче всегда будет иметь одинаковую четность. Так как увеличение числа камней в 2 раза не изменяет его четность, а увеличение в 3 раза изменяет его на противоположную.

2. Если на начальном ходу в первой куче будет нечетное количество камней, то второй игрок всегда может увеличить число камней во второй куче в 2 раза, чтобы сохранить четность. Аналогично, если на начальном ходу в первой куче будет четное количество камней, второй игрок может увеличить число камней во второй куче в 3 раза, чтобы сохранить четность.

Теперь, если оба игрока играют оптимально и безошибочно, то они будут следовать этой стратегии, чтобы сохранить четность в каждой куче.

Вернемся к начальной позиции, где в первой куче 6 камней, а во второй – 5 камней. В данной позиции количество камней в каждой куче четное.

Если игрок, делающий первый ход, увеличит количество камней в первой куче в 2 раза, он получит 12 камней в первой куче и 5 камней во второй куче. Общее количество камней станет равным 17.

Второй игрок затем увеличит количество камней во второй куче в 2 раза и получит 12 камней в первой куче и 10 камней во второй куче. Общее количество камней станет равным 22.

На каждом последующем ходе игроки будут увеличивать количество камней в каждой куче, сохраняя четность. На каждом ходу общее количество камней будет увеличиваться на 5.

Таким образом, если игроки будут играть оптимально, общее количество камней никогда не достигнет значения 48. Поскольку игра имеет конечное количество ходов и не может быть продолжена до достижения условия победы, игра закончится до того, как общее количество камней станет не менее 48.

Следовательно, независимо от того, кто делает первый ход, игра закончится до достижения условия победы. Ни один из игроков не сможет выиграть при безошибочной игре обоих игроков.