Question

записать общий член ряда,проверить необходимое условие сходимости и достаточности признак расходимости 1 +2/3+3/5

Answer 1

Для начала записываем общий член ряда. По условию данного ряда, мы имеем следующую последовательность:

1, 2/3, 3/5, ...

Общий член ряда можно записать в виде: an = (n+1)/(2n-1), где n - номер члена ряда.

Проверим необходимое условие сходимости ряда. Необходимое условие для сходимости ряда - предел общего члена ряда должен стремиться к нулю при n → ∞. Для этого возьмем предел от общего члена ряда:

lim (n→∞) ((n+1)/(2n-1))

Для нахождения предела можно воспользоваться правилом Лопиталя. Дифференцируем числитель и знаменатель по n:

(n+1)' = 1 (2n-1)' = 2

Теперь берем предел от дифференцированных частей:

lim (n→∞) (1/2) = 1/2

Предел не равен нулю, поэтому необходимое условие сходимости ряда не выполняется.

Теперь проверим достаточность признака расходимости ряда. Для этого используем интегральный признак сходимости.

Интеграл от общего члена ряда равен:

∫ ((x+1)/(2x-1)) dx

Для определения сходимости ряда нужно проанализировать сходимость этого интеграла. Если интеграл расходится, то и ряд расходится.

Вычисляем интеграл:

∫ ((x+1)/(2x-1)) dx = (1/2) ln |2x-1| + C

Интеграл расходится на бесконечности, так как ln |2x-1| стремится к бесконечности при x → ∞.

Таким образом, достаточность признака расходимости ряда выполняется.

В итоге, ряд 1, 2/3, 3/5, ... расходится.