Question

Помогите пожалуйста, не знаю куда cos4x деватьcos2x+cos4x-sin2x=0

Answer 1

Чтобы найти решение уравнения cos2x*cos4x - sin2x = 0, мы сначала заменим cos4x на cos^2(2x) - sin^2(2x), используя тригонометрическую формулу двойного угла для косинуса. Тогда уравнение примет вид:

cos2x*(cos^2(2x) - sin^2(2x)) - sin2x = 0.

Далее раскроем скобки:

cos^3(2x) - cos2x*sin^2(2x) - sin2x = 0.

Мы можем выразить sin^2(2x) через sin2x, используя тригонометрическую формулу sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2:

cos^3(2x) - cos2x*(1 - cos(2x))/2 - sin2x = 0.

Упростим:

cos^3(2x) - (cos2x - cos^2(2x))/2 - sin2x = 0.

Теперь объединим все слагаемые с cos2x в одно:

cos^3(2x) - cos^2(2x)/2 + cos^2(2x)/2 - cos2x/2 - sin2x = 0.

Сократим слагаемые:

cos^3(2x) + cos^2(2x)/2 - cos2x/2 - sin2x = 0.

Заметим, что второе и третье слагаемые могут быть объединены:

cos^3(2x) + (cos^2(2x) - cos2x)/2 - sin2x = 0.

Мы также можем объединить первое и второе слагаемые с помощью формулы куба суммы:

(cos(2x) + 1)(cos^2(2x) - cos2x)/2 - sin2x = 0.

Далее приведем второе слагаемое общего дроби к общему знаменателю:

(cos(2x) + 1)(cos^2(2x) - 2*cos2x + 1)/2 - sin2x = 0.

Упростим:

(cos(2x) + 1)(cos^2(2x) - 2*cos2x + 1) - 2*sin2x = 0.

Раскроем скобки:

cos^3(2x) - 2*cos^2(2x) + cos(2x) + cos^2(2x) - 2*cos2x + 1 - 2*sin2x = 0.

Упростим и объединим слагаемые:

cos^3(2x) - cos^2(2x) - 2*cos2x + cos(2x) - 2*sin2x + 1 = 0.

Теперь мы можем заметить, что первые три слагаемых образуют квадрат косинуса двойного угла, а последние два слагаемых образуют синус двойного угла:

cos^2(2x)*(cos(2x) - 1) - 2*cos2x - 2*sin2x + 1 = 0.

Еще раз объединим слагаемые:

cos^2(2x)*(cos(2x) - 1) - 2*(cos2x + sin2x) + 1 = 0.

Теперь мы можем заметить, что cos2x + sin2x = 1, согласно тригонометрической формуле:

cos^2(2x)*(cos(2x) - 1) - 2 + 1 = 0.

Упростим:

cos^2(2x)*(cos(2x) - 1) - 1 = 0.

Используем факт, что cos^2(2x) = 1 - sin^2(2x):

(1 - sin^2(2x))*(cos(2x) - 1) - 1 = 0.

Раскроем скобки:

cos(2x) - 1 - sin^2(2x)*cos(2x) + sin^2(2x) - 1 = 0.

Упростим и перегруппируем слагаемые:

cos(2x) - 1 - sin^2(2x)*cos(2x) + sin^2(2x) - 1 = 0.

cos(2x) - 2 - sin^2(2x)*cos(2x) + sin^2(2x) = 0.

Вынесем общий множитель sin^2(2x):

cos(2x) - 2 + sin^2(2x)*(1 - cos(2x)) = 0.

Далее заметим, что cos(2x)*(1 - cos(2x)) = sin^2(2x), согласно формуле двойного угла для косинуса:

cos(2x) - 2 + sin^2(2x)*sin^2(2x) = 0.

Используем тождество тригонометрии sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

cos(2x) - 2 + (1 - cos^2(2x))^2 = 0.

Упростим и раскроем скобки:

cos(2x) - 2 + 1 - 2*cos^2(2x) + cos^4(2x) = 0.

Соберем все слагаемые и приведем подобные:

cos^4(2x) - 2*cos^2(2x) + cos(2x) - 1 = 0.

Приметим, что это уравнение четвертой степени относительно косинуса двойного угла. Выражение cos(2x) может быть заменено переменной t, тогда уравнение приобретет вид:

t^4 - 2*t^2 + t - 1 = 0.

Решение этого уравнения может быть сложным и требует использования специальных методов, таких как анализ симметрии графика функции или метода Руфини. Если вам необходимо найти точное решение или действовать на конкретном промежутке, рекомендуется использовать численные методы или компьютерные программы для решения уравнений.