Question

Найдите наибольшее значение функции y=3sqrt 2 * cosx+3x - 3pi/4+7 на отрезке 0;pi/2

Answer 1

Для нахождения наибольшего значения функции y=3sqrt(2)*cos(x)+3x-(3pi/4)+7 на отрезке [0, pi/2] необходимо проанализировать значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри отрезка.

1. Значение функции на конце отрезка [0] равно: y(0) = 3sqrt(2)*cos(0)+3*0-(3pi/4)+7 = 3sqrt(2)*1-3pi/4+7 = 3sqrt(2)-3pi/4+7.

2. Значение функции на конце отрезка [pi/2] равно: y(pi/2) = 3sqrt(2)*cos(pi/2)+3*(pi/2)-(3pi/4)+7 = 3sqrt(2)*0+3pi/2-(3pi/4)+7 = 3pi/2-(3pi/4)+7.

3. Найдем критические точки внутри отрезка. Для этого найдем производную функции: y'(x) = -3sqrt(2)*sin(x)+3.

Найдем точки, в которых производная равна нулю: -3sqrt(2)*sin(x)+3 = 0. sin(x) = 3/(3sqrt(2)). x = arcsin(3/(3sqrt(2))).

Подставим найденное значение x в исходную функцию: y(arcsin(3/(3sqrt(2)))) = 3sqrt(2)*cos(arcsin(3/(3sqrt(2))))+3*arcsin(3/(3sqrt(2)))-(3pi/4)+7.

Таким образом, наибольшее значение функции можно найти путем сравнения значений в полученных точках. Найденные значения функции можно сравнить и выбрать наибольшее из них.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = 3sqrt(2) * cos(x) + 3x - 3pi/4 + 7 на отрезке [0, pi/2], необходимо найти максимальное значение этой функции в данном интервале.

Для начала, найдем значения функции на границах интервала: Подставим x = 0: y(0) = 3sqrt(2) * cos(0) + 3 * 0 - 3pi/4 + 7 = 3sqrt(2) - 3pi/4 + 7

Подставим x = pi/2: y(pi/2) = 3sqrt(2) * cos(pi/2) + 3 * (pi/2) - 3pi/4 + 7 = 0 + 3pi/2 - 3pi/4 + 7 = 3pi/2 - 3pi/4 + 7

Теперь найдем критические точки функции, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Для этого найдем производную функции: y'(x) = -3sqrt(2) * sin(x) + 3

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: -3sqrt(2) * sin(x) + 3 = 0 sin(x) = 1/sqrt(2) x = pi/4 или x = 3pi/4

Теперь найдем значения функции в найденных критических точках: Подставим x = pi/4: y(pi/4) = 3sqrt(2) * cos(pi/4) + 3 * (pi/4) - 3pi/4 + 7 = 3sqrt(2)/2 + 3pi/4 - 3pi/4 + 7 = 3sqrt(2)/2 + 7

Подставим x = 3pi/4: y(3pi/4) = 3sqrt(2) * cos(3pi/4) + 3 * (3pi/4) - 3pi/4 + 7 = -3sqrt(2)/2 + 9pi/4 - 3pi/4 + 7 = -3sqrt(2)/2 + 13pi/4 + 7

Теперь сравним все найденные значения функции, чтобы найти наибольшее: y(0) = 3sqrt(2) - 3pi/4 + 7 y(pi/2) = 3pi/2 - 3pi/4 + 7 y(pi/4) = 3sqrt(2)/2 + 7 y(3pi/4) = -3sqrt(2)/2 + 13pi/4 + 7

Сравним значения: y(0) = 3sqrt(2) - 3pi/4 + 7 ≈ 9.94 y(pi/2) = 3pi/2 - 3pi/4 + 7 ≈ 10.07 y(pi/4) = 3sqrt(2)/2 + 7 ≈ 9.95 y(3pi/4) = -3sqrt(2)/2 + 13pi/4 + 7 ≈ 11.94

Таким образом, наибольшее значение функции y = 3sqrt(2) * cos(x) + 3x - 3pi/4 + 7 на отрезке [0, pi/2] равно около 11.94 и достигается при x = 3pi/4.