Question

Докажите, что при любых значениях k верно неравенство k² -1≤k(1+5k)-5k

Answer 1

Давайте докажем данное неравенство для любых значений \( k \).

Имеем неравенство: \[ k^2 - 1 \leq k(1 + 5k) - 5k \]

Раскроем скобки в правой части:

\[ k^2 - 1 \leq k + 5k^2 - 5k \]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[ k^2 - 1 \leq 5k^2 - 4k \]

Выразим все слагаемые на одной стороне:

\[ 0 \leq 5k^2 - 4k - k^2 + 1 \]

Упростим:

\[ 0 \leq 4k^2 - 4k + 1 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы доказать, что оно всегда неотрицательно, рассмотрим его дискриминант (\( \Delta \)):

\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 \]

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет единственный корень. Поскольку ведущий коэффициент (\( a \)) положителен (в данном случае \( a = 4 \)), это означает, что уравнение всегда неотрицательно.

Таким образом, мы доказали, что для любых значений \( k \) выполняется неравенство \( k^2 - 1 \leq k(1 + 5k) - 5k \).