Question

Помогите пожалуйста решить тригоном уровнения!! а) 4cos^2x-4cosx+1=0 б) 3sinx-√3cosx=0 в) 3sin^2x+10sinx cosx+3Cos^2x=0

Answer 1

а) Дано уравнение: 4cos^2x - 4cosx + 1 = 0

Мы можем заметить, что это уравнение является квадратным относительно cosx. Для его решения, давайте заменим cosx на t.

Тогда уравнение можно записать как: 4t^2 - 4t + 1 = 0

Такое уравнение можно решить с помощью квадратного трехчлена. Для начала, найдем дискриминант (D) уравнения:

D = (-4)^2 - 4 * 4 * 1 D = 16 - 16 D = 0

Так как D = 0, то у уравнения есть один корень. Мы можем найти этот корень по формуле:

t = (-b ± √D) / (2a) t = (-(-4) ± √0) / (2 * 4) t = (4 ± 0) / 8 t = 4 / 8 = 1/2

Таким образом, получаем, что cosx = 1/2.

Далее, чтобы найти значения x, нам необходимо найти обратный косинус (arcos) от 1/2:

x = arccos(1/2) + 2πn или x = -arccos(1/2) + 2πn, где n - целое число.

Так как cos(x) = 1/2 имеет два значения, то мы получаем два решения:

x₁ = arccos(1/2) + 2πn = π/3 + 2πn x₂ = -arccos(1/2) + 2πn = -π/3 + 2πn

Таким образом, решениями уравнения являются x = π/3 + 2πn и x = -π/3 + 2πn, где n - целое число.

б) Дано уравнение: 3sinx - √3cosx = 0

Давайте выразим sinx через cosx, используя тригонометрическое тождество sin^2x + cos^2x = 1:

sinx = √(1 - cos^2x)

Подставим это в исходное уравнение:

3√(1 - cos^2x) - √3cosx = 0

Домножим обе части уравнения на √3:

3√3(1 - cos^2x) - 3cosx = 0

Упростим уравнение:

9 - 9cos^2x - 3cosx = 0

Теперь заменим cosx на t:

9 - 9t^2 - 3t = 0

Упростим уравнение:

3t^2 + t - 3 = 0

Это квадратное уравнение относительно t. Найдем его корни с помощью квадратного трехчлена. Найдем дискриминант:

D = (1)^2 - 4 * 3 * (-3) D = 1 + 36 D = 37

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня. Их можно найти по формуле:

t = (-b ± √D) / (2a) t₁ = (-1 + √37) / (6) t₂ = (-1 - √37) / (6)

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратные функции sin и cos:

x₁ = arcsin(t₁) + 2πn или x₁ = π - arcsin(t₁) + 2πn x₂ = arcsin(t₂) + 2πn или x₂ = π - arcsin(t₂) + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, решениями уравнения являются x = arcsin((-1 + √37) / (6)) + 2πn, x = π - arcsin((-1 + √37) / (6)) + 2πn, x = arcsin((-1 - √37) / (6)) + 2πn и x = π - arcsin((-1 - √37) / (6)) + 2πn, где n - целое число.

в) Дано уравнение: 3sin^2x + 10sinx + cosx + 3cos^2x = 0

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2x + cos^2x = 1 для упрощения этого уравнения:

3(1 - cos^2x) + 10sinx + cosx + 3cos^2x = 0 3 + 3sin^2x - 3cos^2x + 10sinx + cosx = 0 3sin^2x - 2cos^2x + 10sinx + cosx + 3 = 0

Давайте заменим cosx на t:

3sin^2x - 2(1 - sin^2x) + 10sinx + t + 3 = 0 3sin^2x - 2 + 2sin^2x + 10sinx + t + 3 = 0 5sin^2x + 10sinx + t + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sinx. Давайте заменим sinx на u:

5u^2 + 10u + t + 1 = 0

Так как уравнение зависит от параметра t, мы не можем однозначно решить его без дополнительной информации или ограничений. Если значение параметра t известно, мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения решений. В противном случае, у нас нет конкретных значений x для этого уравнения.