Question

8^2x-5*8^x-24>0 решить неравенство

Answer 1

Давайте решим данное неравенство:

\[8^{2x} - 5 \cdot 8^x - 24 > 0.\]

Для упрощения выражения заметим, что все три члена содержат множитель \(8^x\). Давайте введем замену переменной, чтобы это выделить:

Пусть \(y = 8^x\), тогда мы можем переписать неравенство:

\[y^2 - 5y - 24 > 0.\]

Теперь давайте решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения \(y^2 - 5y - 24 = 0\). Мы можем использовать квадратное уравнение:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = -5\), и \(c = -24\).

\[D = (-5)^2 - 4(1)(-24) = 25 + 96 = 121.\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2} = 8,\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2} = -3.\]

Теперь у нас есть три интервала: \((- \infty, -3)\), \((-3, 8)\), и \((8, +\infty)\). Выберем точку из каждого интервала и определим знак выражения \(y^2 - 5y - 24\):

1. Для интервала \((- \infty, -3)\) выберем \(y = -4\): \[(-4)^2 - 5(-4) - 24 = 16 + 20 - 24 = 12 > 0.\]

2. Для интервала \((-3, 8)\) выберем \(y = 0\): \[0^2 - 5(0) - 24 = -24 < 0.\]

3. Для интервала \((8, +\infty)\) выберем \(y = 9\): \[9^2 - 5(9) - 24 = 81 - 45 - 24 = 12 > 0.\]

Теперь мы видим, что неравенство \(y^2 - 5y - 24 > 0\) выполняется для интервалов \((- \infty, -3)\) и \((8, +\infty)\).

Возвращаемся к исходной переменной \(x\), учитывая, что \(y = 8^x\):

1. Для интервала \((- \infty, -3)\) получаем \(8^x < 0\), что невозможно для действительных чисел \(x\). 2. Для интервала \((8, +\infty)\) получаем положительные значения \(8^x\).

Таким образом, решением исходного неравенства \(8^{2x} - 5 \cdot 8^x - 24 > 0\) является:

\[x \in (8, +\infty).\]