Question

8sin^2x+6sin(pi/2+x)=9

Answer 1

Давайте решим уравнение \(8\sin^2(x) + 6\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = 9\).

1. Заметим, что \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos(x)\). 2. Подставим это значение в уравнение:

\[8\sin^2(x) + 6\cos(x) = 9\]

3. Заметим, что \(8\sin^2(x) = 8(1 - \cos^2(x))\), используя тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\). 4. Подставим это значение обратно в уравнение:

\[8(1 - \cos^2(x)) + 6\cos(x) = 9\]

5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[8 - 8\cos^2(x) + 6\cos(x) = 9\]

6. Переносим все слагаемые в одну сторону:

\[-8\cos^2(x) + 6\cos(x) + 8 - 9 = 0\]

\[-8\cos^2(x) + 6\cos(x) - 1 = 0\]

7. Умножим обе стороны на -1, чтобы коэффициент при первом слагаемом был положительным:

\[8\cos^2(x) - 6\cos(x) + 1 = 0\]

8. Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться квадратным трехчленом или формулой квадратного уравнения:

\[\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 8\), \(b = -6\), \(c = 1\).

\[\cos(x) = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}\]

\[\cos(x) = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{16}\]

\[\cos(x) = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{16}\]

\[\cos(x) = \frac{6 \pm 2}{16}\]

Таким образом, два возможных значения для \(\cos(x)\) - это \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{3}{4}\).

9. Найдем соответствующие значения \(x\) с использованием обратной функции косинуса:

\[x_1 = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\]

\[x_2 = \cos^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\]

10. Решениями уравнения будут значения \(x_1\) и \(x_2\), а также все значения \(x\) вида \(x = 2\pi n + x_1\) и \(x = 2\pi n + x_2\), где \(n\) - целое число.

Это даст вам все возможные решения уравнения \(8\sin^2(x) + 6\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = 9\).