Question

Решите уравнение sin4x-sinx=0 и укажите корни из промежутка [3П;7П/2]

Answer 1

Перепишем уравнение sin4x - sinx = 0 в виде уравнения синусовой функции:

2sin2xcos2x - sinx = 0.

Формула двойного аргумента для синуса гласит: sin2θ = 2sinθcosθ.

Подставим это равенство в уравнение:

2(2sinxcosx)(cos2x) - sinx = 0.

Упростим:

4sinxcos2x - sinx = 0.

Формула двойного аргумента для косинуса гласит: cos2θ = cos²θ - sin²θ.

Подставим это равенство в уравнение:

4sinxcos²x - sinx(1 - sin²x) = 0.

Раскроем скобки:

4sinxcos²x - sinx + sin³x = 0.

Выберем sinx в качестве общего множителя:

sinx(4cos²x - 1 + sin²x) = 0.

По свойству нулевого произведения, каждый из множителей должен быть равен нулю:

1) sinx = 0. 2) 4cos²x - 1 + sin²x = 0.

1) sinx = 0. Корень уравнения: x = kπ, где k - целое число.

2) 4cos²x - 1 + sin²x = 0. Перепишем это уравнение, используя тригонометрическую тождество cos²x = 1 - sin²x:

4(1 - sin²x) - 1 + sin²x = 0.

Упростим:

4 - 4sin²x - 1 + sin²x = 0, 3 - 3sin²x = 0, sin²x = 1/3, sinx = ±√(1/3).

На интервале [3π, 7π/2] функция sinx положительна, поэтому рассматриваем только положительные значения: sinx = √(1/3).

Находим x, удовлетворяющий этому равенству: x = arcsin(√(1/3)) ≈ 0.7297.

Таким образом, корни уравнения sin4x - sinx = 0 на промежутке [3π, 7π/2] равны: x = kπ, где k - целое число, и x ≈ 0.7297.