Question

Докажите,что многочлен x^2 - 4x +y^2 - 4y + 9 при любых значениях x и y принимает только положительные значения.

Answer 1

Давайте рассмотрим выражение \(x^2 - 4x + y^2 - 4y + 9\). Мы хотим доказать, что это выражение принимает только положительные значения для любых \(x\) и \(y\).

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

\[ x^2 - 4x + y^2 - 4y + 9 = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) + 1 \]

Теперь сгруппируем квадратные члены:

\[ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = (x - 2)^2 + (y - 2)^2 \]

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

\[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + 1 \]

Теперь рассмотрим, какие значения могут принимать \( (x - 2)^2 \) и \( (y - 2)^2 \). Оба этих квадрата неотрицательны, так как квадрат любого числа неотрицателен. Таким образом, сумма двух неотрицательных чисел и 1 (которое также положительно) всегда будет положительной.

Таким образом, мы доказали, что выражение \(x^2 - 4x + y^2 - 4y + 9\) принимает только положительные значения для любых значений \(x\) и \(y\).