Question

SOS n/(1/(1+a_1 )+1/(1+a_2 )+⋯+1/(1+a_n ))=n/(1/a_1 +1/a_2 +⋯+1/a_n )≥1 выясните когда в таком неравенстве достигается равно

Answer 1

Давайте рассмотрим данное неравенство более подробно:

\[ \frac{n}{\frac{1}{1+a_1} + \frac{1}{1+a_2} + \ldots + \frac{1}{1+a_n}} \]

Мы хотим выяснить, когда это неравенство будет равенством и равно ли ему 1. Для начала, давайте представим это неравенство в другой форме:

\[ \frac{n}{\frac{1}{1+a_1} + \frac{1}{1+a_2} + \ldots + \frac{1}{1+a_n}} = \frac{n}{\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1+a_1} + \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1+a_2} + \ldots + \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1+a_n}} \]

Теперь, если мы перемножим числитель и знаменатель каждого слагаемого на \(1+a_1, 1+a_2, \ldots, 1+a_n\) соответственно, то получим:

\[ \frac{n}{\frac{1+a_1}{1+a_1} + \frac{1+a_2}{1+a_2} + \ldots + \frac{1+a_n}{1+a_n}} = \frac{n}{n + \frac{1}{1+a_1} + \frac{1}{1+a_2} + \ldots + \frac{1}{1+a_n}} \]

Теперь упростим дробь в знаменателе:

\[ \frac{n}{n + \frac{1}{1+a_1} + \frac{1}{1+a_2} + \ldots + \frac{1}{1+a_n}} = \frac{n}{n + \frac{1}{1+a_1} + \frac{1}{1+a_2} + \ldots + \frac{1}{1+a_n}} \cdot \frac{1+a_1}{1+a_1} \]

\[ = \frac{n(1+a_1)}{n(1+a_1) + \frac{1+a_1}{1+a_1} + \frac{1+a_2}{1+a_2} + \ldots + \frac{1+a_n}{1+a_n}} \]

\[ = \frac{n(1+a_1)}{n + 1 + \frac{1}{1+a_2} + \ldots + \frac{1+a_n}{1+a_n}} \]

Повторим этот процесс для всех слагаемых в знаменателе. В конечном итоге мы получим:

\[ \frac{n(1+a_1)(1+a_2)\ldots(1+a_n)}{n(1+a_1)(1+a_2)\ldots(1+a_n) + 1(1+a_2)\ldots(1+a_n) + 1(1+a_1)\ldots(1+a_n) + \ldots + 1(1+a_1)(1+a_2)\ldots(1+a_{n-1})} \]

Теперь мы видим, что в числителе у нас есть произведение \(n\) и всех \(1+a_i\), а в знаменателе - это же произведение, но с добавлением каждого слагаемого по очереди. Мы видим, что все слагаемые в знаменателе положительны, поэтому знаменатель всегда больше числителя. Следовательно, данное неравенство всегда больше 1, и равенство достигается только в том случае, если числитель равен нулю.

Таким образом, чтобы достигнуть равенства в данном неравенстве, все \(a_i\) должны быть равными - \(a_1 = a_2 = \ldots = a_n\), и в этом случае оба числителя и знаменатель обращаются в ноль.