Question

Решить неравенство: (2/7)^(3×(x-1/3))<(4/49)^(x^2)

Answer 1

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

Имеем неравенство:

\[\left(\frac{2}{7}\right)^{3(x-\frac{1}{3})} < \left(\frac{4}{49}\right)^{x^2}\]

Для удобства решения, давайте приведем обе стороны к одному основанию. Мы можем выбрать любое положительное основание, например, \(e\) (число Эйлера). После этого применим логарифм к обеим сторонам:

\[3(x-\frac{1}{3}) \cdot \ln\left(\frac{2}{7}\right) < x^2 \cdot \ln\left(\frac{4}{49}\right)\]

Теперь раскроем логарифмы и упростим выражение:

\[3x\ln\left(\frac{2}{7}\right) - \ln\left(\frac{2}{7}\right) < x^2 \cdot \ln\left(\frac{4}{49}\right)\]

Теперь приведем все слагаемые в одну сторону и упростим:

\[3x\ln\left(\frac{2}{7}\right) - x^2 \cdot \ln\left(\frac{4}{49}\right) - \ln\left(\frac{2}{7}\right) < 0\]

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение. Сначала переносим все слагаемые в одну сторону:

\[x^2 \cdot \ln\left(\frac{4}{49}\right) - 3x\ln\left(\frac{2}{7}\right) + \ln\left(\frac{2}{7}\right) > 0\]

Теперь используем дискриминант, чтобы определить характер уравнения:

\[D = \left(-3\ln\left(\frac{2}{7}\right)\right)^2 - 4 \cdot \ln\left(\frac{4}{49}\right) \cdot \ln\left(\frac{2}{7}\right)\]

Решаем для \(D > 0\), так как у нас знак "больше" в исходном неравенстве. Если \(D > 0\), то у нас есть два корня уравнения.

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\[x_1 = \frac{3\ln\left(\frac{2}{7}\right) + \sqrt{D}}{2\ln\left(\frac{4}{49}\right)}\]

\[x_2 = \frac{3\ln\left(\frac{2}{7}\right) - \sqrt{D}}{2\ln\left(\frac{4}{49}\right)}\]

Теперь нам нужно определить интервалы, в которых неравенство выполнено. Мы можем использовать знаки множителей между корнями и за пределами корней:

\[x < x_2 \quad \text{или} \quad x > x_1\]

Таким образом, неравенство выполнено, если \(x\) принадлежит объединению интервалов \((-\infty, x_2)\) и \((x_1, +\infty)\).

Обратите внимание, что значения логарифмов и чисел \(D\) могут потребовать численных расчетов.