Question

Найдите область определения функции y=√-x^2+5x+24

Answer 1

Чтобы найти область определения функции \(y = \sqrt{-x^2 + 5x + 24}\), нужно учесть ограничения для аргумента функции, при которых она остается определенной.

Корень из отрицательного числа не является действительным числом в рамках вещественных чисел, поэтому выражение под корнем \(-x^2 + 5x + 24\) должно быть неотрицательным.

Выражение \(-x^2 + 5x + 24\) можно представить в виде квадратного трехчлена, например, через завершение квадрата:

\(-x^2 + 5x + 24 = -(x^2 - 5x - 24)\)

Теперь нужно найти корни уравнения \(x^2 - 5x - 24 = 0\). Это можно сделать, например, с помощью квадратного уравнения или факторизации:

\((x - 8)(x + 3) = 0\)

Корни уравнения: \(x = 8\) и \(x = -3\).

Таким образом, функция будет неопределенной при \(x = 8\) и \(x = -3\), так как в этих точках под корнем будет отрицательное значение.

Теперь определим область определения. Учитывая, что функция имеет корень из выражения \(-x^2 + 5x + 24\), она будет определена только тогда, когда это выражение неотрицательно:

\(-x^2 + 5x + 24 \geq 0\)

Рассмотрим интервалы между корнями уравнения \(x^2 - 5x - 24 = 0\), т.е., \((- \infty, -3)\), \((-3, 8)\), \((8, +\infty)\).

Выберем тестовую точку в каждом интервале, например, \(x = -4\) для \((- \infty, -3)\), \(x = 0\) для \((-3, 8)\), и \(x = 9\) для \((8, +\infty)\).

Подставим эти значения в неравенство:

1. Для интервала \((- \infty, -3)\): \(-(-4)^2 + 5(-4) + 24 = 0 + (-20) + 24 = 4\). Таким образом, этот интервал удовлетворяет неравенству.

2. Для интервала \((-3, 8)\): \(-0^2 + 5(0) + 24 = 24\). Таким образом, этот интервал удовлетворяет неравенству.

3. Для интервала \((8, +\infty)\): \(-9^2 + 5(9) + 24 = -81 + 45 + 24 = -12\). Таким образом, этот интервал не удовлетворяет неравенству.

Таким образом, область определения функции \(y = \sqrt{-x^2 + 5x + 24}\) - это интервалы \((- \infty, -3)\) и \((-3, 8)\).