Question

Найдите наименьший положительный корень уравнения cos^2 3x=cos6x С решением!!!

Answer 1

Конечно, давайте решим уравнение подробно.

Уравнение: \(\cos^2(3x) = \cos(6x)\)

Для начала, приведем все тригонометрические функции к общему виду. Используем тригонометрический тождественный закон \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1\).

Таким образом, мы можем переписать \(\cos(6x)\) с использованием этого тождества:

\[\cos(6x) = 2\cos^2(3x) - 1.\]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[\cos^2(3x) = 2\cos^2(3x) - 1.\]

Теперь переносим все члены в одну сторону уравнения:

\[2\cos^2(3x) - \cos^2(3x) - 1 = 0.\]

Упростим это уравнение:

\[\cos^2(3x) - 1 = 0.\]

Теперь можно использовать тригонометрическое тождество \(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 1\):

\[\cos^2(3x) - \sin^2(3x) = 0.\]

Факторизуем это уравнение:

\[(\cos(3x) - \sin(3x))(\cos(3x) + \sin(3x)) = 0.\]

Таким образом, получаем два уравнения:

1. \(\cos(3x) - \sin(3x) = 0\) 2. \(\cos(3x) + \sin(3x) = 0\)

Рассмотрим первое уравнение:

\[\cos(3x) - \sin(3x) = 0.\]

Разделим обе части на \(\cos(3x)\) (предполагая, что \(\cos(3x) \neq 0\)):

\[1 - \tan(3x) = 0.\]

Отсюда получаем, что \(\tan(3x) = 1\).

Теперь найдем все значения \(x\). Так как мы ищем наименьший положительный корень, мы будем рассматривать первый квадрант.

В первом квадранте \(\tan(\theta) = 1\) при \(\theta = \frac{\pi}{4}\).

Таким образом, получаем:

\[3x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad \text{где } k \text{ - любое целое число}.\]

Теперь найдем \(x\):

\[x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}, \quad \text{где } k \text{ - любое целое число}.\]

Таким образом, у нас есть бесконечное множество корней, и наименьший положительный корень будет при \(k = 0\):

\[x = \frac{\pi}{12}.\]

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения \(\cos^2(3x) = \cos(6x)\) равен \(\frac{\pi}{12}\).