Question

Исследуйте функцию f(x)=-x^3+3x^2-4 и построить график

Answer 1

Конечно, давайте вместе исследуем функцию \( f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4 \) и построим её график.

1. Найдем производные: - Найдем первую производную: \( f'(x) \) - Найдем вторую производную: \( f''(x) \)

\[ f'(x) = -3x^2 + 6x \] \[ f''(x) = -6x + 6 \]

2. Найдем точки экстремума и точки перегиба: - Для экстремумов \( f'(x) = 0 \) и решим уравнение. - Для точек перегиба \( f''(x) = 0 \) и решим уравнение.

Для \( f'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 6x = 0 \] \[ -3x(x - 2) = 0 \] Отсюда получаем две точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Для \( f''(x) = 0 \): \[ -6x + 6 = 0 \] \[ x = 1 \]

Таким образом, у нас есть три критические точки: \( x = 0, x = 1, x = 2 \).

3. Определим знаки производных: - Исследуем интервалы между критическими точками.

Проверим знаки \( f'(x) \) на этих интервалах: - Для \( x < 0 \) берем \( x = -1 \), получаем \( f'(-1) = 3 > 0 \). - Для \( 0 < x < 1 \) берем \( x = 0.5 \), получаем \( f'(0.5) = -1.5 < 0 \). - Для \( 1 < x < 2 \) берем \( x = 1.5 \), получаем \( f'(1.5) = 1.5 > 0 \). - Для \( x > 2 \) берем \( x = 3 \), получаем \( f'(3) = -9 < 0 \).

Теперь мы знаем знаки \( f'(x) \) на интервалах и можем определить поведение функции.

4. Находим значения функции в критических точках и на бесконечностях: - Найдем значения функции в критических точках \( x = 0, x = 1, x = 2 \). \[ f(0) = -4, \quad f(1) = -6, \quad f(2) = -8 \]

- Рассмотрим поведение функции на бесконечностях: - При \( x \to +\infty \), функция стремится к \(-\infty\). - При \( x \to -\infty \), функция стремится к \(-\infty\).

5. Построим график: - Используем найденные точки экстремума и точку перегиба, а также информацию о знаках производных, чтобы построить график.


На графике видно, что функция имеет локальный максимум в точке \(x = 0\), локальный минимум в точке \(x = 1\), и снова локальный максимум в точке \(x = 2\). Также есть точка перегиба в \(x = 1\). График функции стремится к \(-\infty\) как при \(x \to -\infty\), так и при \(x \to +\infty\).

Это основные шаги исследования функции и построения её графика.