Question

Определить знаменатель и сумму членов геометрической прогрессии , в которой b1=-20 1/4, n=5,bn=-1/4

Answer 1

Давайте обозначим общий член геометрической прогрессии как \(b_n\), начальный член как \(b_1\), знаменатель как \(q\), а количество членов как \(n\).

Для геометрической прогрессии справедливо следующее соотношение:

\[b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\]

Из условия мы знаем, что \(b_1 = -20\frac{1}{4} = -\frac{81}{4}\), \(b_n = -\frac{1}{4}\) и \(n = 5\).

Подставим значения в формулу:

\[-\frac{1}{4} = -\frac{81}{4} \cdot q^{(5-1)}\]

Теперь решим уравнение относительно \(q\):

\[q^4 = \frac{81}{1}\]

\[q = \sqrt[4]{81} = 3\]

Таким образом, знаменатель \(q\) равен 3.

Теперь найдем сумму членов геометрической прогрессии. Формула для суммы \(S_n\) геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}\]

Подставим значения:

\[S_5 = \frac{ -\frac{81}{4} \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1}\]

\[S_5 = \frac{ -\frac{81}{4} \cdot (243 - 1)}{2}\]

\[S_5 = \frac{ -\frac{81}{4} \cdot 242}{2}\]

\[S_5 = -\frac{81 \cdot 242}{8}\]

\[S_5 = -\frac{19502}{8}\]

\[S_5 = -\frac{4875}{2}\]

Итак, знаменатель \(q\) равен 3, а сумма членов геометрической прогрессии равна \(-\frac{4875}{2}\).