Question

Теплоход праплыл 54 км по течению и 42 км против течения затратив всего 4ч. Найдите скорость теплохода , если скорость течения 3 км| ч

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся формулой времени, расстояния и скорости: \(t = \frac{S}{V}\), где \(t\) - время, \(S\) - расстояние и \(V\) - скорость.

Пусть \(V_t\) - скорость теплохода, \(V_c\) - скорость течения, \(S_1\) - расстояние, пройденное по течению, и \(S_2\) - расстояние, пройденное против течения.

Известно, что теплоход проплыл 54 км по течению и 42 км против течения, затратив всего 4 часа. Мы можем записать уравнения для этой ситуации:

1. \(S_1 = 54\) км 2. \(S_2 = 42\) км 3. \(t_1 + t_2 = 4\) часа

Выражаем время через скорость и расстояние:

1. \(t_1 = \frac{S_1}{V_t + V_c}\) 2. \(t_2 = \frac{S_2}{V_t - V_c}\)

Подставим эти выражения в уравнение для времени:

\(\frac{S_1}{V_t + V_c} + \frac{S_2}{V_t - V_c} = 4\)

Теперь подставим значения:

\(\frac{54}{V_t + 3} + \frac{42}{V_t - 3} = 4\)

Умножим обе стороны на \((V_t + 3)(V_t - 3)\) для избавления от знаменателей:

\[54(V_t - 3) + 42(V_t + 3) = 4(V_t^2 - 9)\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[54V_t - 162 + 42V_t + 126 = 4V_t^2 - 36\]

Сгруппируем все члены в квадратном уравнении на одну сторону:

\[4V_t^2 - 96V_t + 72 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Решение будет двойное, так как задача подразумевает два возможных направления движения теплохода (по течению и против течения). Решение квадратного уравнения можно найти с помощью формулы:

\[V_t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(a = 4\), \(b = -96\), и \(c = 72\). Подставим значения:

\[V_t = \frac{96 \pm \sqrt{(-96)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 72}}{2 \cdot 4}\]

\[V_t = \frac{96 \pm \sqrt{9216 - 1152}}{8}\]

\[V_t = \frac{96 \pm \sqrt{8064}}{8}\]

\[V_t = \frac{96 \pm 8\sqrt{126}}{8}\]

Таким образом, у нас есть два решения:

\[V_{t1} = \frac{96 + 8\sqrt{126}}{8}\]

\[V_{t2} = \frac{96 - 8\sqrt{126}}{8}\]

Теперь мы можем вычислить численные значения для скорости теплохода.