Question

1.Найдите период фун-ии а)2tg3x+sin x/2 x/2-дробь б)2ctg(x/2-П/4)+cosx-2 в)tgx*ctgx-2 г)2cos(2x-П/3)+3sin4x

Answer 1

Основной период функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$ равен $2 \pi$. При этом функции вида $y=\sin kx$ и $y=\cos kx$ имеют период $\frac{2 \pi }{k}$. Домножение всей функции на постоянный множитель или прибавление константы к переменной под знаком тригонометрической функции либо ко всей функции не меняет ее период: $T(a\sin (bx+c)+d)= \frac{T(\sin x)}{b} = \frac{2 \pi }{b}$

Основной период функций $y=\mathrm{tg}x$ и $y=\mathrm{ctg}x$ равен $\pi$, а функций $y=\mathrm{tg}kx$ и $y=\mathrm{ctg}kx$ равен $\frac{ \pi }{k}$.

Чтобы найти период функции, являющейся суммой двух и более функций, нужно найти наименьшее общее кратное периодов слагаемых функций:
$T_{f(x)+g(x)}=HOK(T_{f(x)}; \ T_{g(x)})$

Находить будем основной период. Любое число, кратное основному периоду, также является периодом.

1.
$y=2\mathrm{tg}3x+\sin \frac{x}{2} \\\ T(2\mathrm{tg}3x)= \frac{ \pi }{3} \\\ T(\sin \frac{x}{2} )= \frac{2 \pi }{ 1/2 } =4 \pi \\\ T=HOK( \frac{ \pi }{3} ; \ 4 \pi )=4 \pi$

2.
$y=2\mathrm{ctg}( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{4} )+\cos x-2 \\\ T(2\mathrm{ctg}( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{4} ))= \frac{ \pi }{1/2} =2 \pi \\\ T(\cos x)=2 \pi \\\ T=HOK(2 \pi ; \ 2\pi )=2 \pi$

3.
$\mathrm{tg}x\cdot\mathrm{ctg}x-2=1-2=-1$
Периодом данной функции можно назвать любое ненулевое число, однако не существует основного периода, потому как не существует наименьшего положительного числа.

4.
$y=2\cos(2x- \frac{ \pi }{3})+3\sin4x \\\ T(2\cos(2x- \frac{ \pi }{3}))= \frac{2 \pi }{2} = \pi \\\ T(3\sin4x )= \frac{2 \pi }{4}= \frac{ \pi }{2} \\\ T=HOK( \pi ; \ \frac{ \pi }{2} )= \pi$