Question

Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії (bn) якщо b2-b4=3, b3-b1= -6

Answer 1

{b1q-b1q²=3⇒b1=3/q(1-q²)
{b1q²-b1=-6⇒b1=6/(1-q²)
3/q(1-q²)=6/(1-q²)
1/q=2
q=1/2
b1=6:(1-1/2)=6:1/2=6*2=12
S=b1/(1-q)
S=12:1/2=24

Answer 2

{b1•q–b1•q^3=3
{b1•q^2–b1=–6
{b1•q(1–q^2)=3
{–b1(1–q^2)=–6
–q=–1/2
q=1/2
–b1=–6:(1–q^2)
b1=6:(1–1/4)=6:(3/4)=8

b1 8
S = ------ = ------ = 16
1–q 1/2

Answer 3

Давайте обозначим:

- \( b_1 \) - первый член геометрической прогрессии, - \( r \) - знаменатель геометрической прогрессии.

Тогда члены геометрической прогрессии будут:

- \( b_1 \), - \( b_1 \cdot r \), - \( b_1 \cdot r^2 \), - \( b_1 \cdot r^3 \), - и так далее.

Из условия \( b_2 - b_4 = 3 \), мы можем записать:

\[ b_1 \cdot r - b_1 \cdot r^3 = 3 \]

Из условия \( b_3 - b_1 = -6 \), мы получаем:

\[ b_1 \cdot r^2 - b_1 = -6 \]

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить. Давайте решим эту систему.

Первое уравнение:

\[ b_1 \cdot r - b_1 \cdot r^3 = 3 \]

Факторизуем \( b_1 \):

\[ b_1 \cdot r (1 - r^2) = 3 \]

Теперь второе уравнение:

\[ b_1 \cdot r^2 - b_1 = -6 \]

Факторизуем \( b_1 \):

\[ b_1 \cdot r^2 (1 - 1) = -6 \]

Это уравнение даёт нам \( b_1 \cdot r^2 = -6 \).

Теперь мы можем подставить это значение в первое уравнение:

\[ -6 \cdot (1 - r^2) = 3 \]

Раскроем скобки:

\[ -6 + 6 \cdot r^2 = 3 \]

\[ 6 \cdot r^2 = 9 \]

\[ r^2 = \frac{3}{2} \]

\[ r = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \]

Теперь мы знаем значение \( r \). Мы также знаем, что \( b_1 \cdot r^2 = -6 \), поэтому:

\[ b_1 \cdot \left(\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 = -6 \]

\[ b_1 \cdot \frac{3}{2} = -6 \]

\[ b_1 = -4 \]

Теперь у нас есть начальный член \( b_1 = -4 \) и знаменатель \( r = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна:

\[ S = \frac{b_1}{1 - r} \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{-4}{1 \mp \sqrt{\frac{3}{2}}} \]

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(\frac{-4}{1 \mp \sqrt{\frac{3}{2}}}\).