Question

Решить неравенства (x+1)(x-4)(x+10)меньше или равно 0(2x+5)(3x-6)/(x-1)(x+7) больше или равно 0

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Чтобы решить это неравенство, начнем с выявления точек разрыва функции, а затем определения знаков в каждом интервале между этими точками.

Первым шагом найдем точки разрыва. Для этого приравняем знаменатели нулю:

1. \(x - 1 = 0\) --> \(x = 1\) 2. \(x + 7 = 0\) --> \(x = -7\)

Таким образом, у нас есть три интервала: \((-\infty, -7)\), \((-7, 1)\), и \((1, +\infty)\).

Теперь в каждом из этих интервалов определим знак произведения \((x + 1)(x - 4)(x + 10)\) и знака \((2x + 5)(3x - 6)\):

1. \((-\infty, -7)\): \\ - \((x + 1)\) имеет положительный знак, так как корень -1 дает четное число отрицательных множителей; - \((x - 4)\) имеет отрицательный знак, так как корень 4 дает нечетное число отрицательных множителей; - \((x + 10)\) имеет положительный знак; - \((2x + 5)\) имеет положительный знак; - \((3x - 6)\) имеет положительный знак.

Таким образом, \((x + 1)(x - 4)(x + 10)\) и \((2x + 5)(3x - 6)\) положительны на этом интервале.

2. \((-7, 1)\): \\ - \((x + 1)\) имеет положительный знак; - \((x - 4)\) имеет отрицательный знак; - \((x + 10)\) имеет положительный знак; - \((2x + 5)\) имеет отрицательный знак, так как корень -5 дает нечетное число отрицательных множителей; - \((3x - 6)\) имеет положительный знак.

Таким образом, \((x + 1)(x - 4)(x + 10)\) положительно, а \((2x + 5)(3x - 6)\) отрицательно на этом интервале.

3. \((1, +\infty)\): \\ - \((x + 1)\) имеет положительный знак; - \((x - 4)\) имеет положительный знак; - \((x + 10)\) имеет положительный знак; - \((2x + 5)\) имеет положительный знак; - \((3x - 6)\) имеет положительный знак.

Таким образом, \((x + 1)(x - 4)(x + 10)\) и \((2x + 5)(3x - 6)\) положительны на этом интервале.

Теперь рассмотрим неравенство:

\[\frac{(2x + 5)(3x - 6)}{(x - 1)(x + 7)} \geq 0\]

Знаменатель имеет нули при \(x = 1\) и \(x = -7\). Знаки в интервалах между этими точками мы уже определили.

Таким образом, решение данного неравенства:

\[\frac{(2x + 5)(3x - 6)}{(x - 1)(x + 7)} \geq 0\]

это:

\[x \in (-\infty, -7] \cup [1, +\infty)\]