Question

Решить?1+4cosx=cos2x

Answer 1

1+4cos x =  cos 2x 
1+4cos x = 2*cos^2 (x) - 1        // т.к. cos 2x = 2*cos x -1 
2+4cos x = 2*cos^2 (x)            // разделим все на два 
1+2cos x = cos^2 (x)
cos^2(x) - 2cos x -1 =0
a = cos x  a^2 = cos^2 (x)
a^2-2a-1 = 0
D=4+4=0
a1=(2+2*2^(1/2))/2=1+2^(1/2)=cos x 
a2=(2-2*2^(1/2))/2=1-2^(1/2)= cos x 

cos x = 1-2^(1/2)                                cos x = 1+2^(1/2)

x = π*n + arccos (1-2^(1/2)                 x = π*n + arccos (1+2^(1/2)

PS 
^ - знак степени(если что)

Answer 2

Давайте решим уравнение \(1 + 4\cos x = \cos 2x\).

Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Формула двойного угла для косинуса гласит:

\[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \]

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

\[ 1 + 4\cos x = 2\cos^2 x - 1 \]

Приведем всё к квадратному уравнению:

\[ 2\cos^2 x - 4\cos x - 2 = 0 \]

Разделим все члены на 2:

\[ \cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0 \]

Теперь давайте введем замену, чтобы упростить уравнение. Обозначим \(\cos x\) как \(t\). Тогда:

\[ t^2 - 2t - 1 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -1\). Подставим значения:

\[ t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} \]

\[ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]

\[ t = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]

\[ t = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]

\[ t = 1 \pm \sqrt{2} \]

Таким образом, у нас есть два значения \(t\): \(1 + \sqrt{2}\) и \(1 - \sqrt{2}\). Но мы помним, что \(t = \cos x\), поэтому у нас есть два возможных значения для \(\cos x\):

1. \( \cos x = 1 + \sqrt{2} \) 2. \( \cos x = 1 - \sqrt{2} \)

Теперь давайте рассмотрим каждый случай отдельно.

1. \( \cos x = 1 + \sqrt{2} \): Это значение не может быть верным, так как косинус всегда находится в интервале от -1 до 1. Следовательно, это решение не подходит.

2. \( \cos x = 1 - \sqrt{2} \): Это значение также не может быть верным, так как оно также выходит за пределы интервала для косинуса.

Таким образом, уравнение \(1 + 4\cos x = \cos 2x\) не имеет действительных корней в области действительных чисел.