Question

Найти производную функции y = (arccos x)^x

Answer 1

$y=(arccosx)^{x}\\\\lny=ln(arccosx)^{x}\\\\lny=x\cdot ln(arccosx)\\\\(lny)'=\frac{y'}{y}\\\\\frac{y'}{y}=ln(arccosx)+x\cdot \frac{1}{arccosx}\cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\\\y'=y\cdot (ln(arccosx)-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\cdot arccosx})\\\\y'=(arccosx)^{x}\cdot (ln(arccosx)-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\cdot arccosx})$

Answer 2

Давайте найдем производную функции \(y = (\arccos x)^x\), используя правило производной для композиции функций (цепное правило) и правило дифференцирования степенной функции.

1. Обозначим \(u = \arccos x\), а \(v = x\). 2. Тогда \(y = u^v\). 3. Применим цепное правило: \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\). 4. Найдем производные:

a. \(\frac{dy}{du} = vu^{v-1}\) (по правилу степенной функции).

b. \(\frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) (по производной функции \(\arccos x\)).

5. Подставим эти значения в цепное правило:

\[ \frac{dy}{dx} = vu^{v-1} \cdot \frac{du}{dx} = x(\arccos x)^{x-1} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right). \]

Это выражение представляет собой производную функции \(y = (\arccos x)^x\) по переменной \(x\).