Question

найдите промежутки монотонности : у=x^4-2x^2+2

Answer 1

y'=4x^3-4x=0

x1=0

4x^2-4=0

x^2=1

x2=1

x3=-1

 

x<-1 y'<0 функция убывает

]-1;0[  y'>0 функция возрастает

]0;1[ y'<0 функция убывает

х>1 y'>0 функция возрастает

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности функции у = x^4 - 2x^2 + 2, нужно сначала найти ее производную и проанализировать ее знаки.

1. Найдем производную функции у = x^4 - 2x^2 + 2. Для этого возьмем производную по x от каждого слагаемого:

∂у/∂х = 4x^3 - 4x

2. Затем приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

4x^3 - 4x = 0

Факторизуем: 4x(x^2 - 1) = 0

x = 0 или x = ±1.

3. Теперь построим таблицу знаков. Для этого возьмем три произвольные точки на каждом интервале, полученном при разбиении числовой прямой значениями x = -∞, x = -1, x = 0, x = 1, x = +∞. Затем вычислим значения производной в этих точках и установим знаки:

-∞ -1 0 1 +∞ ------------------------------------ f'(x) + - 0 + + ------------------------------------

Из таблицы знаков производной видно, что:

- Для x < -1 функция убывает (f'(x) < 0). - Для -1 < x < 0 функция возрастает (f'(x) > 0). - Для 0 < x < 1 функция убывает (f'(x) < 0). - Для x > 1 функция возрастает (f'(x) > 0).

То есть, промежутки монотонности функции у = x^4 - 2x^2 + 2:

1) Функция убывает на интервалах (-∞, -1) и (0, 1). 2) Функция возрастает на интервалах (-1, 0) и (1, +∞).