Question

Докажите неравенство (x+y)^2>или=4хy

Answer 1

(х+y)^2 >= 4xy
x^2 + 2xy + y^2 >= 4xy
x^2 + 2xy + y^2 - 4xy >= 0
x^2 - 2xy + y^2 >= 0
(x-y)^2 >= 0 - верно!, потому что любая разность, полученная в скобках будет >= 0, так как она возведена в квадрат.

Answer 2

Для начала, давайте разложим левую часть неравенства:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

Теперь нам нужно доказать, что x^2 + 2xy + y^2 > или = 4xy.

Давайте предположим, что x и y - положительные числа. В этом случае мы можем сократить 2xy с обеих сторон неравенства, так как они положительные:

x^2 + 2xy + y^2 - 4xy > или = 0

x^2 - 2xy + y^2 > или = 0

Теперь давайте предположим, что x и y - отрицательные числа. В этом случае мы также можем сократить 2xy с обеих сторон неравенства, так как они отрицательные:

x^2 + 2xy + y^2 - 4xy > или = 0

x^2 - 2xy + y^2 > или = 0

Таким образом, независимо от знаков x и y, мы получаем неравенство:

x^2 - 2xy + y^2 > или = 0

Это неравенство всегда верно, так как это квадрат суммы двух переменных. Значит, мы доказали неравенство (x + y)^2 > или = 4xy.