Question

N€N решите уравнение 3^3*3^5*3^7...3^2n-1=27^5

Answer 1

Приводим к  уравнению 3+5+7+ ... + (2n-1) = 8
в левой части равенства сумма членов арифметической прогрессии

Answer 2

Давайте решим это уравнение поэтапно. У нас есть следующее уравнение:

3^3 * 3^5 * 3^7 * ... * 3^(2n-1) = 27^5

Мы знаем, что 3^3 равно 27, поэтому мы можем заменить его на 27 в уравнении:

27 * 3^5 * 3^7 * ... * 3^(2n-1) = 27^5

Теперь мы можем использовать свойство степеней, которое гласит, что a^b * a^c = a^(b+c). Применяя это свойство к нашему уравнению, мы получаем:

27 * 3^(5 + 7 + ... + (2n-1)) = 27^5

Чтобы продолжить решение, нам нужно раскрыть сумму степеней. Обратим внимание, что сумма степеней 5, 7, ..., (2n-1) представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 5 и разностью 2. Таким образом, мы можем записать эту сумму как:

5 + 7 + ... + (2n-1) = n(2*5 + (n-1) * 2) / 2 = n(10 + 2n - 2) / 2 = n(2n + 8) / 2 = n(n + 4)

Теперь мы можем заменить сумму степеней в уравнении:

27 * 3^(n(n + 4)) = 27^5

Мы знаем, что 27^5 равно 3^15, поэтому мы можем заменить его в уравнении:

27 * 3^(n(n + 4)) = 3^15

Далее, мы можем сократить обе стороны уравнения на 3:

9 * 3^(n(n + 4)) = 3^15

Теперь у нас есть две степени с одинаковым основанием 3. Верно, что a^b = a^c тогда и только тогда, когда b = c. Применяя это свойство к нашему уравнению, мы получаем:

n(n + 4) = 15

Это квадратное уравнение и его можно решить путем раскрытия скобок и переноса всех членов в одну сторону:

n^2 + 4n - 15 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию, метод квадратного корня или квадратное уравнение:

n^2 + 4n - 15 = (n + 5)(n - 3) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для n: -5 и 3. Ответом на уравнение будет каждое из этих значений.

Итак, уравнение 3^3 * 3^5 * 3^7 * ... * 3^(2n-1) = 27^5 имеет два решения: n = -5 и n = 3.